Questão 27. A equação de Navier-Stokes descreve a evolução do campo de velocidades de um fluido viscoso, que aqui consideraremos também incompressível
\frac{\partial \vec{u}}{\partial t}+(\vec{u} \cdot \nabla) \vec{u}=-\nabla p+\mu \nabla^{2} \vec{u}, \quad \nabla \cdot \vec{u}=0
onde
\vec{u}(\vec{r}, t) é o campo de velocidade,
p(\vec{r}, t) é a pressão e
\mu o coeficiente de viscosidade (cisalhamento). Ao tomar o rotacional da equação (5), lembrando que o rotacional de um campo gradiente é sempre nulo:
\nabla \times \nabla p=\overrightarrow{0} , obtemos a equação de evolução da vorticidade do fluido
\frac{D \vec{\omega}}{D t}=\frac{\partial \vec{\omega}}{\partial t}+(\vec{u} \cdot \nabla) \vec{\omega}=\mu \nabla^{2} \vec{\omega}, \quad \nabla \cdot \vec{u}=0
onde a vorticidade fica definida por
\vec{\omega}=\nabla \times \vec{u} . Fazendo uma mudança de escala na equação (6) obtemos sua forma adimensional
\frac{\partial \vec{\omega}}{\partial t}+\operatorname{Re}(\vec{u} \cdot \nabla) \vec{\omega}=\nabla^{2} \vec{\omega}
onde
R e=a U \mu^{-1} é o número de Reynolds. No limite de baixo Reynolds (alta viscosidade), para um fluido bidimensional, a equação (7) é aproximada pela equação de difusão da vorticidade, na forma da equação do calor
\frac{\partial \omega}{\partial t}=\nabla^{2} \omega
Como vimos na equação (4), se inicialmente a vorticidade está concentrada em um ponto, com intensidade
\omega_{0} , sua solução é
\omega(x, y, t)=\frac{1}{4 \pi t} e^{-\frac{x^{2}+y^{2}}{4 t}},