Calcule \int_{C} P(x, y) d x+Q(x, y) d y, tal que
\begin{aligned} P(x, y) & =-y\left[\frac{1}{(x-1)^{2}+y^{2}}+\frac{1}{x^{2}+y^{2}}+\frac{1}{(x-1)^{2}+y^{2}}\right] \\\ Q(x, y) & =\frac{x-1}{(x-1)^{2}+y^{2}}+\frac{x}{x^{2}+y^{2}}+\frac{x+1}{(x+1)^{2}+y^{2}} \end{aligned}
com
C a circunferência (x-2)^{2}+y^{2}=\frac{1}{4}.

Passo 1

O enunciado pede
\int_{C}P(x,y)\,dx+Q(x,y)\,dy
com
P(x,y)=-y\Bigl[\frac{1}{(x-1)^{2}+y^{2}}+\frac{1}{x^{2}+y^{2}}+\frac{1}{(x+1)^{2}+y^{2}}\Bigr],
Q(x,y)=\frac{x-1}{(x-1)^{2}+y^{2}}+\frac{x}{x^{2}+y^{2}}+\frac{x+1}{(x+1)^{2}+y^{2}},
e C sendo a circunferência (x-2)^{2}+y^{2}=\tfrac14.
O conteúdo aqui é reconhecer que cada par (P_i,Q_i) corresponde a
\frac{-y\,dx+(x-a)\,dy}{(x-a)^2+y^2}=d\bigl(\arg(x-a+iy)\bigr),
ou seja, cada termo é o diferencial do argumento de z-a.

Passo 2

Escrevendo o campo como soma de três parcelas centradas em a=1,0,-1, temos
P\,dx+Q\,dy =d\theta_{1}+d\theta_{0}+d\theta_{-1},
onde
d\theta_{a} =\frac{-y\,dx+(x-a)\,dy}{(x-a)^2+y^2}
é o diferencial de \arg\bigl((x-a)+iy\bigr).

Passo 3

O valor de
\oint_{C}d\theta_{a}
é 2\pi vezes o índice de giro de C em torno de (a,0). Como C é o círculo de centro (2,0) e raio \tfrac12, as distâncias de (2,0) a (1,0), (0,0) e (-1,0) são maiores que \tfrac12. Logo nenhum desses pontos fica dentro de C, e todos os índices são zero:
n_{1}=n_{0}=n_{-1}=0.

Passo 4

Somando as três contribuições,
\oint_{C}P\,dx+Q\,dy =2\pi\,(n_{1}+n_{0}+n_{-1}) =2\pi\,(0+0+0) =0.

Resposta

0

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