Questão 28. Como consequência dos exercícios (13), (16) e (17), da seção 10.7 do livro texto, concluímos que a solução geral da equação de onda, sem condições de contorno (corda infinita), definida por
\begin{gathered} u_{t t}=a^{2} u_{x x}, \quad-\infty<x<+\infty, \quad t \in \mathbb{R} . \\\ u(x, 0)=f(x), \quad u_{t}(x, 0)=g(x) \end{gathered}
tem a forma
u(x, t)=\frac{1}{2}(f(x-a t)+f(x+a t))+\frac{1}{2 a} \int_{x-a t}^{x+a t} g(\xi) d \xi

Passo 1

O enunciado pede a solução da equação de onda
u_{tt}=a^{2}u_{xx},\quad -\infty<x<+\infty,\;t\in\mathbb{R},
com condições iniciais
u(x,0)=f(x),\quad u_{t}(x,0)=g(x).
O conteúdo é o método de D’Alembert, que usa mudança para as características p=x-at e q=x+at.

Passo 2

Definimos
p=x-at,\quad q=x+at,
e consideramos u(x,t)=U(p,q). Aplicando a regra da cadeia, obtém-se
u_{tt}-a^{2}u_{xx}=-4a^{2}\frac{\partial^{2}U}{\partial p\,\partial q}.
Como a PDE original exige u_{tt}-a^{2}u_{xx}=0, segue
\frac{\partial^{2}U}{\partial p\,\partial q}=0.

Passo 3

A equação \partial^{2}U/(\partial p\,\partial q)=0 implica que
U(p,q)=F(p)+G(q)
para duas funções arbitrárias F e G. Voltando às variáveis originais,
u(x,t)=F(x-at)+G(x+at).

Passo 4

Impondo u(x,0)=f(x) e u_{t}(x,0)=g(x):
  1. u(x,0)=F(x)+G(x)=f(x).
  2. u_{t}(x,0)=-aF'(x)+aG'(x)=g(x).
    Da primeira, G(x)=f(x)-F(x). Substituindo na segunda:
-aF'(x)+a[f'(x)-F'(x)] =g(x) \;\Longrightarrow\;2a\,F'(x)=a\,f'(x)-g(x).
Logo
F'(x)=\tfrac12f'(x)-\tfrac1{2a}g(x),
que, ao integrar de algum ponto fixo até x e ajustando a constante, dá
F(x)=\tfrac12f(x)-\frac1{2a}\int^{\,x}g(\xi)\,d\xi,\quad G(x)=f(x)-F(x)=\tfrac12f(x)+\frac1{2a}\int^{\,x}g(\xi)\,d\xi.

Passo 5

Substituindo F e G em u(x,t)=F(x-at)+G(x+at) resulta
u(x,t) =\frac12\bigl[f(x-at)+f(x+at)\bigr] +\frac1{2a}\int_{x-at}^{\,x+at}g(\xi)\,d\xi.

Resposta

u(x,t) =\frac12\bigl(f(x-at)+f(x+at)\bigr) +\frac1{2a}\int_{x-at}^{\,x+at}g(\xi)\,d\xi.

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