Questão 28. Como consequência dos exercícios (13), (16) e (17), da seção 10.7 do livro texto, concluímos que a solução geral da equação de onda, sem condições de contorno (corda infinita), definida por
tem a forma
Passo 1
O enunciado pede a solução da equação de onda
com condições iniciais
O conteúdo é o método de D’Alembert, que usa mudança para as características
e
.
Passo 2
Definimos
e consideramos
. Aplicando a regra da cadeia, obtém-se
Como a PDE original exige
, segue
Passo 3
A equação
implica que
para duas funções arbitrárias
e
. Voltando às variáveis originais,
Passo 4
Impondo
e
:
-
. -
.
Da primeira,. Substituindo na segunda:
Logo
que, ao integrar de algum ponto fixo até
e ajustando a constante, dá
Passo 5
Substituindo
e
em
resulta