Calcule \int_{C} \vec{F} \cdot d \vec{r} ao longo da curva C , onde:
\vec{F}(x, y)=\left(x^{2}+y^{2}\right)^{-\frac{3}{2}}(x \vec{\imath}+y \vec{\jmath}) \mathrm{e} C: \vec{r}(t)=\mathrm{e}^{\mathrm{t}} \cos (t) \vec{\imath}+e^{t} \operatorname{sen}(t) \vec{\jmath} \quad 0 \leq t \leq 1

Passo 1

O enunciado pede o cálculo de
\int_{C}\vec F\cdot d\vec r
onde
\vec F(x,y)=(x^2+y^2)^{-\frac32}(x\,\vec\imath+y\,\vec\jmath)
e
\displaystyle \vec r(t)=e^t\cos t\,\vec\imath+e^t\sin t\,\vec\jmath,\\\ 0\le t\le1.
O conteúdo aqui é integral de linha de campo conservativo. Vamos mostrar que \vec F tem potencial e aplicar o teorema fundamental das integrais de linha.

Passo 2

Procuramos uma função \varphi(x,y) tal que
\nabla\varphi(x,y)=\vec F(x,y).
Note que, para \varphi(x,y)=-\frac1{\sqrt{x^2+y^2}}, temos
\frac{\partial\varphi}{\partial x} =\frac{\partial}{\partial x}\Bigl(-\,(x^2+y^2)^{-\tfrac12}\Bigr) =(x^2+y^2)^{-\tfrac32}\,x,
\frac{\partial\varphi}{\partial y} =(x^2+y^2)^{-\tfrac32}\,y,
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\nabla\varphi=(x^2+y^2)^{-\tfrac32}(x\,\vec\imath+y\,\vec\jmath)=\vec F.
Assim, \vec F é conservativo com potencial
\varphi(x,y)=-\frac1{\sqrt{x^2+y^2}}.

Passo 3

Pelo teorema fundamental das integrais de linha, em um campo conservativo vale
\int_{C}\vec F\cdot d\vec r =\varphi\bigl(\vec r(1)\bigr)-\varphi\bigl(\vec r(0)\bigr).

Passo 4

Calculamos \varphi nos extremos: como
\|\vec r(t)\|=\sqrt{(e^t\cos t)^2+(e^t\sin t)^2}=e^t, segue
\varphi\bigl(\vec r(t)\bigr) =-\frac1{e^t}.
Portanto
\varphi\bigl(\vec r(1)\bigr)=-\frac1e, \quad \varphi\bigl(\vec r(0)\bigr)=-1.

Passo 5

Substituindo em
\varphi(\vec r(1))-\varphi(\vec r(0)), obtemos
-\frac1e-(-1)=1-\frac1e.

Resposta

\displaystyle \int_{C}\vec F\cdot d\vec r =1-\frac1e.

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