Calcule a massa de um fio metálico y=\frac{x^{3}}{27}, 0 \leq x \leq 3 de densidade f(x, y)=2\left(x^{3}+y\right)

Passo 1

O enunciado nos dá um fio metálico cuja curva é
y = \frac{x^{3}}{27}, \quad 0 \le x \le 3
e densidade linear de massa
f(x,y) = 2\bigl(x^{3} + y\bigr).
Queremos calcular a massa do fio, ou seja, a integral de linha
\text{massa} = \int_{C} f(x,y)\,ds.
Para resolver, vamos parametrizar a curva em função de x, expressar ds e montar a integral.

Passo 2

Parametrizamos por
x = t,\quad y = \frac{t^{3}}{27},\quad t\in[0,3].
Então
\frac{dy}{dt} = \frac{3t^{2}}{27} = \frac{t^{2}}{9},
e
ds = \sqrt{\Bigl(\frac{dx}{dt}\Bigr)^{2} + \Bigl(\frac{dy}{dt}\Bigr)^{2}}\;dt = \sqrt{1 + \Bigl(\frac{t^{2}}{9}\Bigr)^{2}}\;dt = \sqrt{1 + \frac{t^{4}}{81}}\;dt.

Passo 3

Na parametrização, x=t e y=t^{3}/27, a densidade fica
f\bigl(t,\tfrac{t^{3}}{27}\bigr) = 2\Bigl(t^{3} + \tfrac{t^{3}}{27}\Bigr) = 2\,t^{3}\Bigl(1 + \tfrac{1}{27}\Bigr) = \frac{56\,t^{3}}{27}.
Logo a massa é
\int_{0}^{3} \frac{56\,t^{3}}{27}\,\sqrt{1 + \frac{t^{4}}{81}}\;dt.

Passo 4

Fazemos a substituição
u = 1 + \frac{t^{4}}{81}, \quad du = \frac{4\,t^{3}}{81}\,dt \;\Longrightarrow\; t^{3}\,dt = \frac{81}{4}\,du.
Quando t=0, u=1; quando t=3, u=1+81/81=2. Assim
\int_{0}^{3} t^{3}\sqrt{1+\frac{t^{4}}{81}}\;dt = \frac{81}{4}\int_{1}^{2} u^{1/2}\,du = \frac{81}{4}\,\biggl[\frac{2}{3}u^{3/2}\biggr]_{1}^{2} = \frac{81}{4}\cdot\frac{2}{3}\bigl(2^{3/2}-1\bigr) = \frac{27}{2}\bigl(2\sqrt{2}-1\bigr).
Multiplicando pelo fator \tfrac{56}{27}, obtemos
\text{massa} = \frac{56}{27}\,\cdot \frac{27}{2}\bigl(2\sqrt{2}-1\bigr) = 28\bigl(2\sqrt{2}-1\bigr) = 56\sqrt{2} - 28.

Resposta

A massa do fio é
28\bigl(2\sqrt{2}-1\bigr).

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