Calcule \int_{C} \vec{F} \cdot d \vec{r} ao longo da curva C , onde:
\vec{F}(x, y)=x^{2} y \vec{\imath}+4 \vec{\jmath} e C: \vec{r}(t)=e^{t} \vec{\imath}+e^{-t} \vec{\jmath} \quad 0 \leq t \leq 1

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
\int_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}
onde \vec{F}(x,y)=x^{2}y\,\vec{\imath}+4\,\vec{\jmath} e a curva C é dada pela parametrização
\vec{r}(t)=e^{t}\,\vec{\imath}+e^{-t}\,\vec{\jmath},\quad 0\le t\le1.
O conteúdo é cálculo de integral de linha via parametrização: vamos expressar \vec{F} e d\vec{r} em função de t e integrar de 0 a 1.

Passo 2

Calculamos a derivada da parametrização para obter d\vec{r}:
\vec{r}(t)=\bigl(e^{t},\,e^{-t}\bigr)\quad\Longrightarrow\quad \vec{r}\,'(t)=\bigl(e^{t},\,-e^{-t}\bigr).

Passo 3

Substituímos \vec{r}(t) em \vec{F}(x,y):
\vec{F}\bigl(\vec{r}(t)\bigr)=\bigl((e^{t})^{2}\,e^{-t},\,4\bigr)=\bigl(e^{2t-t},\,4\bigr)=\bigl(e^{t},\,4\bigr).

Passo 4

Formamos o produto escalar \vec{F}(\vec{r}(t))\cdot\vec{r}\,'(t):
\vec{F}(\vec{r}(t))\cdot\vec{r}\,'(t) =e^{t}\cdot e^{t}+4\cdot(-e^{-t}) =e^{2t}-4\,e^{-t}.

Passo 5

Montamos a integral em t:
\int_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r} =\int_{0}^{1}\bigl(e^{2t}-4\,e^{-t}\bigr)\,dt.
Calculando a antiderivada:
\int e^{2t}\,dt=\tfrac12\,e^{2t}, \qquad \int(-4\,e^{-t})\,dt=4\,e^{-t},
logo o primitivo é
\tfrac12\,e^{2t}+4\,e^{-t}.

Passo 6

Avaliação nos limites t=0 e t=1:
\Bigl[\tfrac12\,e^{2t}+4\,e^{-t}\Bigr]_{0}^{1} =\Bigl(\tfrac12\,e^{2}+4\,e^{-1}\Bigr) -\Bigl(\tfrac12\,e^{0}+4\,e^{0}\Bigr) =\tfrac12\,e^{2}+ \tfrac{4}{e}-\bigl(\tfrac12+4\bigr).
Simplificando:
\tfrac12\,e^{2}+\tfrac{4}{e}-\tfrac{9}{2}.

Resposta

\int_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r} =\tfrac12\,e^{2}+\tfrac{4}{e}-\tfrac{9}{2}.

Exercícios relacionados