Calcule a integral de linha usando o Teorema de Green e verifique a resposta calculando-a diretamente (sem o Teorema).
, onde C consiste nos segmentos de reta
a
e de
a
e na parábola
de
a
Passo 1
O enunciado pede para calcular
onde
é a curva fechada composta pelos segmentos de reta de
a
, de
a
e pela parábola
de
a
.
Vamos primeiro usar o Teorema de Green para converter o integral de linha num integral duplo sobre a região interna a
.
Vamos primeiro usar o Teorema de Green para converter o integral de linha num integral duplo sobre a região
Passo 2
Chamando
e
, o Teorema de Green (orientação positiva, isto é,
percorrida no sentido anti-horário) diz
Calculamos
então
Passo 3
A região
é a “fatia” do plano limitada por
isto é, para cada
, o
varia de
até
. Logo o integral duplo fica
Passo 4
Compute inner integral em
:
Então
Integrando termo a termo:
Passo 5
Agora verificamos diretamente dividindo
em três partes:
Somando: