Calcule a integral de linha usando o Teorema de Green e verifique a resposta calculando-a diretamente (sem o Teorema).
\oint_{C} x^{2} y^{2} d x+x y d y, onde C consiste nos segmentos de reta (1,1) a (0,1) e de (0,1) a (0,0) e na parábola y=x^{2} de (0,0) a (1,0)

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\oint_{C} x^{2}y^{2}\,dx + xy\,dy
onde C é a curva fechada composta pelos segmentos de reta de (1,1) a (0,1), de (0,1) a (0,0) e pela parábola y=x^{2} de (0,0) a (1,1).
Vamos primeiro usar o Teorema de Green para converter o integral de linha num integral duplo sobre a região R interna a C.

Passo 2

Chamando P(x,y)=x^{2}y^{2} e Q(x,y)=xy, o Teorema de Green (orientação positiva, isto é, C percorrida no sentido anti-horário) diz
\oint_{C}P\,dx+Q\,dy =\iint_{R}\Bigl(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\Bigr)\,dA.
Calculamos
\frac{\partial Q}{\partial x} =\frac{\partial}{\partial x}(xy) =y, \qquad \frac{\partial P}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}(x^{2}y^{2}) =2x^{2}y,
então
\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} =y-2x^{2}y =y\,(1-2x^{2}).

Passo 3

A região R é a “fatia” do plano limitada por
y=x^{2},\quad x=0,\quad y=1,
isto é, para cada x\in[0,1], o y varia de y=x^{2} até y=1. Logo o integral duplo fica
\iint_{R}y(1-2x^{2})\,dA =\int_{x=0}^{1}\int_{y=x^{2}}^{1}y(1-2x^{2})\,dy\,dx.

Passo 4

Compute inner integral em y:
\int_{y=x^{2}}^{1}y(1-2x^{2})\,dy =(1-2x^{2})\int_{x^{2}}^{1}y\,dy =(1-2x^{2})\Bigl[\frac{y^{2}}{2}\Bigr]_{y=x^{2}}^{1} =(1-2x^{2})\frac{1-x^{4}}{2}.
Então
\oint_{C}\dots =\int_{0}^{1}\frac{(1-2x^{2})(1-x^{4})}{2}\,dx =\frac{1}{2}\int_{0}^{1}\bigl(1-2x^{2}-x^{4}+2x^{6}\bigr)\,dx.
Integrando termo a termo:
\frac{1}{2}\Bigl[x-\frac{2x^{3}}{3}-\frac{x^{5}}{5}+\frac{2x^{7}}{7}\Bigr]_{0}^{1} =\frac{1}{2}\Bigl(1-\tfrac{2}{3}-\tfrac{1}{5}+\tfrac{2}{7}\Bigr) =\frac{1}{2}\cdot\frac{44}{105} =\frac{22}{105}.

Passo 5

Agora verificamos diretamente dividindo C em três partes:
C_{1}: de (1,1)\to(0,1), y=1, x vai de 1 a 0, dx=dx, dy=0.
\int_{C_{1}}x^{2}y^{2}\,dx+xy\,dy =\int_{1}^{0}x^{2}\cdot1^{2}\,dx =\Bigl[\tfrac{x^{3}}{3}\Bigr]_{1}^{0} =-\tfrac{1}{3}.
C_{2}: de (0,1)\to(0,0), x=0, dx=0, dy qualquer, mas P\,dx=Q\,dy=0.
\int_{C_{2}}=0.
C_{3}: parábola (0,0)\to(1,1), y=x^{2}, dy=2x\,dx.
\int_{0}^{1}\bigl(x^{2}(x^{2})^{2}\,dx +x\cdot x^{2}\,2x\,dx\bigr) =\int_{0}^{1}(x^{6}+2x^{4})\,dx =\Bigl[\tfrac{x^{7}}{7}+\tfrac{2x^{5}}{5}\Bigr]_{0}^{1} =\tfrac{1}{7}+\tfrac{2}{5} =\tfrac{19}{35}.
Somando: -\tfrac{1}{3}+0+\tfrac{19}{35} =-\tfrac{35}{105}+\tfrac{57}{105} =\tfrac{22}{105}.

Resposta

\displaystyle \frac{22}{105}.

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