Calcule \int_{C} \vec{F} \cdot d \vec{r} ao longo da curva C , onde:
\vec{F}(x, y, z)=z \vec{\imath}+x \vec{\jmath}+y \vec{k} \quad \mathrm{e} C: \vec{r}(t)=\operatorname{sen}(t) \vec{\imath}+3 \cdot \operatorname{sen}(t) \vec{\jmath}+\operatorname{sen}^{2}(t) \vec{k} \quad 0 \leq t \leq \frac{\pi}{2}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
\int_{C} \vec{F}\cdot d\vec{r}
onde \vec{F}(x,y,z)=z\,\vec\imath + x\,\vec\jmath + y\,\vec k e a curva C é dada pelo parâmetro
\vec r(t)=\sin(t)\,\vec\imath + 3\sin(t)\,\vec\jmath + \sin^2(t)\,\vec k, \quad 0\le t\le \frac{\pi}{2}.
Para resolver, vamos usar a fórmula
\int_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r} =\int_{a}^{b}\vec{F}\bigl(\vec{r}(t)\bigr)\cdot \vec{r}\,'(t)\,dt.

Passo 2

Calculamos a derivada \vec r\,'(t). Como
\vec r(t)=\bigl(\sin t,\;3\sin t,\;\sin^2 t\bigr),
temos
\vec r\,'(t) =\bigl(\cos t,\;3\cos t,\;2\sin t\cos t\bigr).

Passo 3

Substituímos a curva em \vec{F}. Ou seja, em \vec{F}(x,y,z)=(z,x,y) fazemos
x=\sin t,\quad y=3\sin t,\quad z=\sin^2 t
e obtemos
\vec{F}\bigl(\vec r(t)\bigr) =\bigl(\sin^2 t,\;\sin t,\;3\sin t\bigr).

Passo 4

Fazemos o produto escalar
\vec{F}\bigl(\vec r(t)\bigr)\cdot \vec r\,'(t) =\bigl(\sin^2 t,\;\sin t,\;3\sin t\bigr)\cdot\bigl(\cos t,\;3\cos t,\;2\sin t\cos t\bigr).
Isso dá
\sin^2 t\cos t \;+\; \sin t\cdot 3\cos t \;+\; 3\sin t\cdot 2\sin t\cos t =7\sin^2 t\cos t \;+\;3\sin t\cos t.

Passo 5

A integral de linha então vira
\int_{0}^{\pi/2}\bigl(7\sin^2 t\cos t +3\sin t\cos t\bigr)\,dt.
Fazendo a substituição u=\sin t, du=\cos t\,dt, quando t vai de 0 a \pi/2, u vai de 0 a 1. A integral fica
\int_{0}^{1}\bigl(7u^2+3u\bigr)\,du =7\int_{0}^{1}u^2\,du +3\int_{0}^{1}u\,du =7\cdot\frac{1}{3} +3\cdot\frac{1}{2} =\frac{7}{3}+\frac{3}{2} =\frac{14+9}{6} =\frac{23}{6}.

Resposta

\displaystyle \frac{23}{6}.

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