Calcule
. Seja
a interseção do cilindro
com o plano
. Considere a porção do plano como superfície
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha
onde
. A curva
é a interseção do cilindro
com o plano
. Foi pedido que consideremos como superfície
a porção do plano limitada por
.
Informações relevantes dadas:
Informações relevantes dadas:
-
. - Curva fechada
é contorno da região do plano acima do disco projetado . - Superfície
é essa porção plana com bordo .
Passo 2
Vou usar o Teorema de Stokes porque o enunciado deu explicitamente uma superfície
cujo bordo é
. O Teorema de Stokes diz que, para uma superfície orientada
com bordo
,
Aqui:
-
é o rotor (curl) de , um campo vetorial que mede a “rotação” local de . -
é o vetor normal unitário à superfície (devemos escolher uma orientação; escolho a normal com componente positiva em para ficar claro). -
é o elemento de área sobre a superfície .
Antes de aplicar, vou explicar e calcular cada peça: o rotor e o vetor normal da superfície.
Passo 3
Calcular o rotor
. Para
a fórmula componente a componente é
Agora as derivadas parciais:
-
. -
. -
. -
. -
. -
.
Substituindo:
Passo 4
Determinar o vetor normal à superfície
. A superfície
é a porção do plano dado por
. Reescrevendo como função implicita:
O vetor normal não unitário é
. Esse vetor tem componente em
igual a
(positiva), então já tem a orientação com componente
positiva que escolhemos. O vetor normal unitário é
Passo 5
Calcular o produto escalar
. Usando
e
:
Passo 6
Relacionar
(área sobre o plano) com a área projetada no plano
. Para uma superfície dada por
tem-se
Aqui
, logo
e
, portanto
onde
é o elemento de área no plano
(projeção). Assim o integrando na integral de superfície fica
Passo 7
Agora a integral sobre
transforma-se na integral dupla sobre a região projetada
no plano
, que é o disco
(raio
). Portanto
Para calcular essa integral é conveniente usar coordenadas polares:
, com
e
. Em polares
Logo a integral fica
Calculo das integrais separadas:
Multiplicando,
Passo 8
Conclusão: a integral de linha é igual a zero. Note que, embora a orientação da normal influencie o sinal da integral de superfície em geral, aqui o valor é zero independentemente da orientação porque a parte angular da integral anula-se sobre um período completo.
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