Calcule \int_{C} \vec{F} \cdot d \vec{r}, \operatorname{com} \vec{F}(x, y, z)=\left(y^{3}, z^{3}, x^{3}\right). Seja C a interseção do cilindro x^{2}+y^{2}=4 com o plano z=y+1. Considere a porção do plano como superfície S.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
\oint_{C} \vec{F}\cdot d\vec{r},
onde \vec{F}(x,y,z)=\left(y^{3},\,z^{3},\,x^{3}\right). A curva C é a interseção do cilindro \;x^{2}+y^{2}=4\; com o plano \;z=y+1\;. Foi pedido que consideremos como superfície S a porção do plano limitada por C.
Informações relevantes dadas:
  • \vec{F}(x,y,z)=\left(y^{3},\,z^{3},\,x^{3}\right).
  • Curva fechada C é contorno da região do plano \;z=y+1\; acima do disco projetado \;x^{2}+y^{2}\le 4.
  • Superfície S é essa porção plana com bordo C.

Passo 2

Vou usar o Teorema de Stokes porque o enunciado deu explicitamente uma superfície S cujo bordo é C. O Teorema de Stokes diz que, para uma superfície orientada S com bordo \partial S=C,
\oint_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}=\iint_{S} (\nabla\times\vec{F})\cdot \hat{n}\,dS.
Aqui:
  • \nabla\times\vec{F} é o rotor (curl) de \vec{F}, um campo vetorial que mede a “rotação” local de \vec{F}.
  • \hat{n} é o vetor normal unitário à superfície S (devemos escolher uma orientação; escolho a normal com componente positiva em z para ficar claro).
  • dS é o elemento de área sobre a superfície S.
Antes de aplicar, vou explicar e calcular cada peça: o rotor e o vetor normal da superfície.

Passo 3

Calcular o rotor \nabla\times\vec{F}. Para \vec{F}=(F_x,F_y,F_z)=(y^{3},\,z^{3},\,x^{3}) a fórmula componente a componente é
\nabla\times\vec{F}=\Big(\frac{\partial F_{z}}{\partial y}-\frac{\partial F_{y}}{\partial z},\;\frac{\partial F_{x}}{\partial z}-\frac{\partial F_{z}}{\partial x},\;\frac{\partial F_{y}}{\partial x}-\frac{\partial F_{x}}{\partial y}\Big).
Agora as derivadas parciais:
  • \frac{\partial F_{z}}{\partial y}=\frac{\partial (x^{3})}{\partial y}=0.
  • \frac{\partial F_{y}}{\partial z}=\frac{\partial (z^{3})}{\partial z}=3z^{2}.
  • \frac{\partial F_{x}}{\partial z}=\frac{\partial (y^{3})}{\partial z}=0.
  • \frac{\partial F_{z}}{\partial x}=\frac{\partial (x^{3})}{\partial x}=3x^{2}.
  • \frac{\partial F_{y}}{\partial x}=\frac{\partial (z^{3})}{\partial x}=0.
  • \frac{\partial F_{x}}{\partial y}=\frac{\partial (y^{3})}{\partial y}=3y^{2}.
Substituindo:
\nabla\times\vec{F}=(-3z^{2},\,-3x^{2},\,-3y^{2})=-3\,(z^{2},\,x^{2},\,y^{2}).

Passo 4

Determinar o vetor normal à superfície S. A superfície S é a porção do plano dado por z=y+1. Reescrevendo como função implicita:
G(x,y,z)=z-y-1=0.
O vetor normal não unitário é \nabla G=(\partial G/\partial x,\partial G/\partial y,\partial G/\partial z)=(0,\,-1,\,1). Esse vetor tem componente em z igual a 1 (positiva), então já tem a orientação com componente z positiva que escolhemos. O vetor normal unitário é
\hat{n}=\frac{(0,-1,1)}{\sqrt{0^{2}+(-1)^{2}+1^{2}}}=\frac{(0,-1,1)}{\sqrt{2}}.

Passo 5

Calcular o produto escalar (\nabla\times\vec{F})\cdot\hat{n}. Usando \nabla\times\vec{F}=(-3z^{2},-3x^{2},-3y^{2}) e \hat{n}=\dfrac{(0,-1,1)}{\sqrt{2}}:
(\nabla\times\vec{F})\cdot\hat{n} =\frac{1}{\sqrt{2}}\big(0\cdot(-3z^{2})+(-1)\cdot(-3x^{2})+1\cdot(-3y^{2})\big) =\frac{1}{\sqrt{2}}\big(3x^{2}-3y^{2}\big) =\frac{3(x^{2}-y^{2})}{\sqrt{2}}.

Passo 6

Relacionar dS (área sobre o plano) com a área projetada no plano xy. Para uma superfície dada por z=g(x,y) tem-se
dS=\sqrt{1+\left(\frac{\partial g}{\partial x}\right)^{2}+\left(\frac{\partial g}{\partial y}\right)^{2}}\,dA.
Aqui g(x,y)=y+1, logo \partial g/\partial x=0 e \partial g/\partial y=1, portanto
dS=\sqrt{1+0+1}\,dA=\sqrt{2}\,dA,
onde dA é o elemento de área no plano xy (projeção). Assim o integrando na integral de superfície fica
(\nabla\times\vec{F})\cdot\hat{n}\;dS =\frac{3(x^{2}-y^{2})}{\sqrt{2}}\cdot \sqrt{2}\,dA =3(x^{2}-y^{2})\,dA.

Passo 7

Agora a integral sobre S transforma-se na integral dupla sobre a região projetada D no plano xy, que é o disco \;x^{2}+y^{2}\le 4\; (raio 2). Portanto
\oint_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}=\iint_{S}(\nabla\times\vec{F})\cdot\hat{n}\,dS =\iint_{D} 3(x^{2}-y^{2})\,dA.
Para calcular essa integral é conveniente usar coordenadas polares: x=r\cos\theta,\;y=r\sin\theta,\;dA=r\,dr\,d\theta, com 0\le r\le 2 e 0\le\theta\le 2\pi. Em polares
x^{2}-y^{2}=r^{2}(\cos^{2}\theta-\sin^{2}\theta)=r^{2}\cos 2\theta.
Logo a integral fica
\iint_{D} 3(x^{2}-y^{2})\,dA =3\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{2} r^{2}\cos 2\theta\; r\,dr\,d\theta =3\int_{0}^{2\pi}\cos 2\theta\;d\theta \int_{0}^{2} r^{3}\,dr.
Calculo das integrais separadas:
\int_{0}^{2} r^{3}\,dr=\left.\frac{r^{4}}{4}\right|_{0}^{2}=\frac{16}{4}=4,
\int_{0}^{2\pi}\cos 2\theta\,d\theta=\left.\frac{\sin 2\theta}{2}\right|_{0}^{2\pi}=0.
Multiplicando,
3\cdot 4 \cdot 0 = 0.

Passo 8

Conclusão: a integral de linha é igual a zero. Note que, embora a orientação da normal influencie o sinal da integral de superfície em geral, aqui o valor é zero independentemente da orientação porque a parte angular da integral anula-se sobre um período completo.

Resposta

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