Calcule \int_{C} \vec{F} \cdot d \vec{r}, sabendo que \vec{F}=\vec{F}(x, y)=x^{2} \vec{i}-x y \vec{j} e \vec{r}(t)=\cos t \vec{i}-\operatorname{sen} t \vec{j}, \quad 0 \leq t \leq \frac{\pi}{4}.

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral de linha \displaystyle \int_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}, onde são dadas as informações:
  • Campo vetorial \displaystyle \vec{F}(x,y)=x^{2}\,\vec{i}-x y\,\vec{j}.
  • Curva parametrizada \displaystyle \vec{r}(t)=\cos t\,\vec{i}-\sin t\,\vec{j}, com 0\le t\le \dfrac{\pi}{4}.
Pergunta explícita: calcular o valor numérico da integral de linha \displaystyle \int_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r} ao longo da curva C dada pela parametrização acima.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A parametrização fornece x(t)=\cos t e y(t)=-\sin t.
  • O intervalo de parametrização é \;t\in\left[0,\dfrac{\pi}{4}\right].

Passo 2

Fórmula e ideia para resolver (explicação didática).
  • Quando uma curva C é dada por uma parametrização \vec{r}(t), a integral de linha do campo \vec{F} ao longo de C é calculada por
\int_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}=\int_{a}^{b}\vec{F}\big(\vec{r}(t)\big)\cdot \vec{r}\,'(t)\,dt.
Aqui:
  • \vec{r}(t) é a posição ao longo da curva em função do parâmetro t.
  • \vec{r}\,'(t) é a velocidade ou derivada da parametrização; geometricamente é o vetor tangente à curva.
  • \vec{F}\big(\vec{r}(t)\big) é o campo avaliado nos pontos da curva.
  • O produto escalar \cdot dá a componente de \vec{F} na direção do movimento; a integral soma essa contribuição ao longo de t.
    Vou aplicar exatamente essa fórmula com a=0 e b=\dfrac{\pi}{4}.

Passo 3

Calcular \vec{r}\,'(t).
  • Da parametrização \vec{r}(t)=\cos t\,\vec{i}-\sin t\,\vec{j}, as derivadas componentes são:
    • \dfrac{d}{dt}(\cos t)=-\sin t,
    • \dfrac{d}{dt}(-\sin t)=-\cos t.
      Portanto
\vec{r}\,'(t)=-\sin t\,\vec{i}-\cos t\,\vec{j}.

Passo 4

Avaliar o campo ao longo da curva: \vec{F}(\vec{r}(t)).
  • Substituir x=\cos t e y=-\sin t em \vec{F}(x,y)=x^{2}\,\vec{i}-x y\,\vec{j}.
    • x^{2}=(\cos t)^{2}=\cos^{2}t.
    • -x y = -(\cos t)(- \sin t)=\cos t\sin t.
      Assim
\vec{F}\big(\vec{r}(t)\big)=\cos^{2}t\,\vec{i}+\cos t\sin t\,\vec{j}.

Passo 5

Fazer o produto escalar \vec{F}(\vec{r}(t))\cdot\vec{r}\,'(t) e simplificar.
  • Usando as expressões obtidas:
\vec{F}\big(\vec{r}(t)\big)\cdot\vec{r}\,'(t) =(\cos^{2}t)(-\sin t)+(\cos t\sin t)(-\cos t).
  • Simplificando termo a termo:
    • Primeiro termo: -\cos^{2}t\sin t.
    • Segundo termo: -\cos^{2}t\sin t.
      Somando,
\vec{F}\big(\vec{r}(t)\big)\cdot\vec{r}\,'(t)=-2\cos^{2}t\sin t.
Logo a integral se reduz a
\int_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}=\int_{0}^{\pi/4}-2\cos^{2}t\sin t\,dt.

Passo 6

Calcular a integral por substituição (explicando a técnica).
  • Observação: a presença de \cos^{2}t multiplicada por \sin t\,dt sugere a substituição u=\cos t, porque du=-\sin t\,dt.
    • Defina u=\cos t. Então du=-\sin t\,dt e -\sin t\,dt=du.
    • Transformar o integrando:
-2\cos^{2}t\sin t\,dt = -2u^{2}\sin t\,dt = -2u^{2}(-du) = 2u^{2}\,du.
  • Mudar os limites: quando t=0 temos u=\cos 0=1; quando t=\dfrac{\pi}{4} temos u=\cos\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}.
    Portanto a integral torna-se
\int_{0}^{\pi/4}-2\cos^{2}t\sin t\,dt=\int_{u=1}^{u=\sqrt{2}/2}2u^{2}\,du.

Passo 7

Integrar e simplificar o resultado final.
  • Integral de 2u^{2} é \dfrac{2}{3}u^{3}. Avaliando entre os limites:
\int_{1}^{\sqrt{2}/2}2u^{2}\,du=\left.\dfrac{2}{3}u^{3}\right|_{1}^{\sqrt{2}/2} =\dfrac{2}{3}\left(\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^{3}-1^{3}\right).
  • Calcular \left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^{3}=\dfrac{\sqrt{2}^{3}}{8}=\dfrac{2\sqrt{2}}{8}=\dfrac{\sqrt{2}}{4}.
  • Substituindo:
\dfrac{2}{3}\left(\dfrac{\sqrt{2}}{4}-1\right)=\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{\sqrt{2}-4}{4} =\dfrac{2(\sqrt{2}-4)}{12}=\dfrac{\sqrt{2}-4}{6}.
Portanto o valor exato da integral é \dfrac{\sqrt{2}-4}{6}.

Resposta

\dfrac{\sqrt{2}-4}{6}

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