Calcule \int_{C} \vec{F} \cdot d \vec{r}, sabendo que \vec{F}=\vec{F}(x, y)=x^{2} \vec{i}-x y \vec{j} e \vec{r}(t)=\cos t \vec{i}-\operatorname{sen} t \vec{j}, \quad 0 \leq t \leq \frac{\pi}{4}.
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral de linha \displaystyle \int_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}, onde são dadas as informações:
Campo vetorial \displaystyle \vec{F}(x,y)=x^{2}\,\vec{i}-x y\,\vec{j}.
Curva parametrizada \displaystyle \vec{r}(t)=\cos t\,\vec{i}-\sin t\,\vec{j}, com 0\le t\le \dfrac{\pi}{4}.
Pergunta explícita: calcular o valor numérico da integral de linha \displaystyle \int_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r} ao longo da curva C dada pela parametrização acima.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
A parametrização fornece x(t)=\cos t e y(t)=-\sin t.
O intervalo de parametrização é \;t\in\left[0,\dfrac{\pi}{4}\right].
Passo 2
Fórmula e ideia para resolver (explicação didática).
Quando uma curva C é dada por uma parametrização \vec{r}(t), a integral de linha do campo \vec{F} ao longo de C é calculada por
\vec{r}(t) é a posição ao longo da curva em função do parâmetro t.
\vec{r}\,'(t) é a velocidade ou derivada da parametrização; geometricamente é o vetor tangente à curva.
\vec{F}\big(\vec{r}(t)\big) é o campo avaliado nos pontos da curva.
O produto escalar \cdot dá a componente de \vec{F} na direção do movimento; a integral soma essa contribuição ao longo de t.
Vou aplicar exatamente essa fórmula com a=0 e b=\dfrac{\pi}{4}.
Passo 3
Calcular \vec{r}\,'(t).
Da parametrização \vec{r}(t)=\cos t\,\vec{i}-\sin t\,\vec{j}, as derivadas componentes são:
\dfrac{d}{dt}(\cos t)=-\sin t,
\dfrac{d}{dt}(-\sin t)=-\cos t.
Portanto
\vec{r}\,'(t)=-\sin t\,\vec{i}-\cos t\,\vec{j}.
Passo 4
Avaliar o campo ao longo da curva: \vec{F}(\vec{r}(t)).
Substituir x=\cos t e y=-\sin t em \vec{F}(x,y)=x^{2}\,\vec{i}-x y\,\vec{j}.
Mudar os limites: quando t=0 temos u=\cos 0=1; quando t=\dfrac{\pi}{4} temos u=\cos\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}.
Portanto a integral torna-se