\hline 13) & Calcule \int_{C} y \mathrm{~d} x-z \mathrm{~d} y+x \mathrm{~d} z, onde C consiste no segmento de reta C_{1} de A=(3,0,0) a B=(1,4,5), seguido do segmento vertical C_{2} de B=(1,4,5) a D=(1,4,0). \

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
\int_{C} y\,\mathrm{d}x - z\,\mathrm{d}y + x\,\mathrm{d}z
onde C é o caminho que consiste em dois segmentos encadeados: C_{1} é o segmento de reta de A=(3,0,0) até B=(1,4,5) e C_{2} é o segmento vertical de B=(1,4,5) até D=(1,4,0). As informações relevantes dadas são:
  • Coordenadas dos pontos: A=(3,0,0), B=(1,4,5), D=(1,4,0).
  • Ordem do percurso: primeiro C_{1} (de A a B), depois C_{2} (de B a D).
    A integral pedida é a soma das integrais sobre C_{1} e C_{2}.

Passo 2

Estratégia escolhida: parametrizar cada segmento separadamente e calcular a integral em cada parâmetro, somando os resultados. Antes de parametrizar, é útil verificar se o campo associado é conservativo (às vezes isso simplifica), isto é, se a forma y\,\mathrm{d}x - z\,\mathrm{d}y + x\,\mathrm{d}z tem primitiva global. Identificando o campo vetor \mathbf{F}=(P,Q,R) com
P=y,\qquad Q=-z,\qquad R=x,
calculo o rotacional \nabla\times\mathbf{F} para ver se é nulo:
\nabla\times\mathbf{F}=\Big(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z},\;\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x},\;\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\Big).
Agora calculo cada derivada:
\frac{\partial R}{\partial y}=0,\quad \frac{\partial Q}{\partial z}=-1,\quad \frac{\partial P}{\partial z}=0,\quad \frac{\partial R}{\partial x}=1,\quad \frac{\partial Q}{\partial x}=0,\quad \frac{\partial P}{\partial y}=1.
Portanto
\displaystyle \nabla\times\mathbf{F}=(0-(-1),\;0-1,\;0-1)=(1,-1,-1),
que não é o vetor nulo. Conclusão: o campo não é conservativo, então a integral depende do caminho e é necessário calcular diretamente sobre cada segmento. Vamos parametrizar.

Passo 3

Parametrização de C_{1} (reta de A a B). Use parâmetro t\in[0,1] e a fórmula da reta:
\mathbf{r}_1(t)=A+t(B-A)= (3,0,0)+t(-2,4,5).
Logo as coordenadas são
x(t)=3-2t,\qquad y(t)=4t,\qquad z(t)=5t,\qquad 0\le t\le1.
As diferenciais são
\mathrm{d}x=-2\,\mathrm{d}t,\qquad \mathrm{d}y=4\,\mathrm{d}t,\qquad \mathrm{d}z=5\,\mathrm{d}t.
Substituo na forma y\,\mathrm{d}x - z\,\mathrm{d}y + x\,\mathrm{d}z:
y\,\mathrm{d}x - z\,\mathrm{d}y + x\,\mathrm{d}z = (4t)(-2\,\mathrm{d}t) - (5t)(4\,\mathrm{d}t) + (3-2t)(5\,\mathrm{d}t).
Simplifico a expressão dentro do integrando:
(4t)(-2) - (5t)(4) + (3-2t)(5) = -8t -20t +15 -10t = 15 -38t.
Portanto a integral sobre C_{1} é
\int_{C_{1}} y\,\mathrm{d}x - z\,\mathrm{d}y + x\,\mathrm{d}z = \int_{0}^{1} (15-38t)\,\mathrm{d}t.

Passo 4

Calculo da integral em C_{1}:
\int_{0}^{1} (15-38t)\,\mathrm{d}t = \Big[15t -19t^{2}\Big]_{0}^{1} = 15 -19 = -4.
Logo o contributo de C_{1} é -4.

Passo 5

Parametrização de C_{2} (segmento vertical de B a D). Aqui x e y são constantes iguais às de B: x=1, y=4. z varia de 5 para 0. Posso usar parâmetro u\in[0,1] com
\mathbf{r}_2(u)=(1,4,5-5u),
ou simplesmente parametrizar por z variando de 5 a 0. As diferenciais são \mathrm{d}x=\mathrm{d}y=0 e \mathrm{d}z é a variação de z. Substituindo na forma:
y\,\mathrm{d}x - z\,\mathrm{d}y + x\,\mathrm{d}z = 4\cdot0 - z\cdot0 + 1\cdot\mathrm{d}z = \mathrm{d}z.
Assim a integral sobre C_{2} é simplesmente
\int_{C_{2}} y\,\mathrm{d}x - z\,\mathrm{d}y + x\,\mathrm{d}z = \int_{z=5}^{z=0} \mathrm{d}z = [z]_{5}^{0} = 0-5 = -5.

Passo 6

Somando os dois trechos, o valor total da integral sobre C é
\int_{C} y\,\mathrm{d}x - z\,\mathrm{d}y + x\,\mathrm{d}z = \int_{C_{1}} \cdots + \int_{C_{2}} \cdots = (-4) + (-5) = -9.

Resposta

-9

Exercícios relacionados