\hline 13) & Calcule
, onde
consiste no segmento de reta
de
a
, seguido do segmento vertical
de
a
. \
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha
onde
é o caminho que consiste em dois segmentos encadeados:
é o segmento de reta de
até
e
é o segmento vertical de
até
. As informações relevantes dadas são:
- Coordenadas dos pontos:
, , . - Ordem do percurso: primeiro
(de a ), depois (de a ).
A integral pedida é a soma das integrais sobree .
Passo 2
Estratégia escolhida: parametrizar cada segmento separadamente e calcular a integral em cada parâmetro, somando os resultados. Antes de parametrizar, é útil verificar se o campo associado é conservativo (às vezes isso simplifica), isto é, se a forma
tem primitiva global. Identificando o campo vetor
com
calculo o rotacional
para ver se é nulo:
Agora calculo cada derivada:
Portanto
que não é o vetor nulo. Conclusão: o campo não é conservativo, então a integral depende do caminho e é necessário calcular diretamente sobre cada segmento. Vamos parametrizar.
Passo 3
Parametrização de
(reta de
a
). Use parâmetro
e a fórmula da reta:
Logo as coordenadas são
As diferenciais são
Substituo na forma
:
Simplifico a expressão dentro do integrando:
Portanto a integral sobre
é
Passo 4
Calculo da integral em
:
Logo o contributo de
é
.
Passo 5
Parametrização de
(segmento vertical de
a
). Aqui
e
são constantes iguais às de
:
,
.
varia de
para
. Posso usar parâmetro
com
ou simplesmente parametrizar por
variando de
a
. As diferenciais são
e
é a variação de
. Substituindo na forma:
Assim a integral sobre
é simplesmente
Passo 6
Somando os dois trechos, o valor total da integral sobre
é