\hline 5) & Mostre que não existe um campo vetorial
tal que
\
Passo 1
O enunciado nos dá o campo vetorial
e pede para mostrar que não existe um campo vetorial
tal que
Informações relevantes fornecidas:
- O campo
está explícito em componentes. - A tarefa é provar a impossibilidade de encontrar
com .
Passo 2
Vou lembrar duas definições básicas e uma identidade útil (com prova rápida) que vamos usar.
Definição de componentes de um campo vetorial
. Escrevendo
onde
,
e
são funções suficientemente suaves.
Definição do rotacional (curl) de
:
Definição da divergência (div) de um campo vetorial
:
Passo 3
Agora mostro a identidade chave: a divergência do rotacional de qualquer campo
(com derivadas parciais de segunda ordem contínuas, i.e.
) é sempre zero. Isso é essencial porque se
então necessariamente
.
Cálculo direto:
Distribuindo as derivadas:
Como assumimos que
têm derivadas parciais de segunda ordem contínuas, pelos teoremas de igualdade das derivadas mistas (Clairaut) vale, por exemplo,
e análogos para as outras segundas derivadas mistas. Portanto todos os termos se cancelam em pares e obtemos
Em palavras: qualquer campo que seja rotacional de outro campo tem divergência nula.
Passo 4
Agora calcule a divergência do campo fornecido
. Usando a definição:
Calculando as derivadas parciais simples:
Logo
Passo 5
Compare a propriedade necessária (Passo 3) com o cálculo feito (Passo 4). Se existisse algum campo
com as hipóteses de regularidade tais que
, então deveríamos ter
Mas calculamos
, que não é identicamente zero (é zero somente na reta
, mas não em todo o espaço). Portanto há uma contradição:
não é zero em geral, enquanto qualquer campo que seja rotacional de outro deve ter divergência zero em todo o domínio. Concluímos que não existe tal
.
Resposta
Não existe tal campo vetorial
. De fato,
em geral, mas para qualquer campo
com regularidade suficiente vale
, o que contradiz
.