\hline 5) & Mostre que não existe um campo vetorial \vec{G} tal que
\operatorname{rot} \vec{G}=\vec{F}=x^{2} \vec{i}+y^{2} \vec{j}+z^{2} \vec{k} \

Passo 1

O enunciado nos dá o campo vetorial
\vec{F}=x^{2}\,\vec{i}+y^{2}\,\vec{j}+z^{2}\,\vec{k}
e pede para mostrar que não existe um campo vetorial \vec{G} tal que
\operatorname{rot}\vec{G}=\vec{F}.
Informações relevantes fornecidas:
  • O campo \vec{F} está explícito em componentes.
  • A tarefa é provar a impossibilidade de encontrar \vec{G} com \operatorname{rot}\vec{G}=\vec{F}.

Passo 2

Vou lembrar duas definições básicas e uma identidade útil (com prova rápida) que vamos usar.
Definição de componentes de um campo vetorial \vec{G}. Escrevendo
\vec{G}=G_{1}\,\vec{i}+G_{2}\,\vec{j}+G_{3}\,\vec{k},
onde G_{1}=G_{1}(x,y,z), G_{2}=G_{2}(x,y,z) e G_{3}=G_{3}(x,y,z) são funções suficientemente suaves.
Definição do rotacional (curl) de \vec{G}:
\operatorname{rot}\vec{G}=\left(\frac{\partial G_{3}}{\partial y}-\frac{\partial G_{2}}{\partial z}\right)\vec{i}+\left(\frac{\partial G_{1}}{\partial z}-\frac{\partial G_{3}}{\partial x}\right)\vec{j}+\left(\frac{\partial G_{2}}{\partial x}-\frac{\partial G_{1}}{\partial y}\right)\vec{k}.
Definição da divergência (div) de um campo vetorial \vec{H}=H_{1}\vec{i}+H_{2}\vec{j}+H_{3}\vec{k}:
\operatorname{div}\vec{H}=\frac{\partial H_{1}}{\partial x}+\frac{\partial H_{2}}{\partial y}+\frac{\partial H_{3}}{\partial z}.

Passo 3

Agora mostro a identidade chave: a divergência do rotacional de qualquer campo \vec{G} (com derivadas parciais de segunda ordem contínuas, i.e. \vec{G}\in C^{2}) é sempre zero. Isso é essencial porque se \vec{F}=\operatorname{rot}\vec{G} então necessariamente \operatorname{div}\vec{F}=0.
Cálculo direto:
\operatorname{div}(\operatorname{rot}\vec{G})= \frac{\partial}{\partial x}\!\left(\frac{\partial G_{3}}{\partial y}-\frac{\partial G_{2}}{\partial z}\right) +\frac{\partial}{\partial y}\!\left(\frac{\partial G_{1}}{\partial z}-\frac{\partial G_{3}}{\partial x}\right) +\frac{\partial}{\partial z}\!\left(\frac{\partial G_{2}}{\partial x}-\frac{\partial G_{1}}{\partial y}\right).
Distribuindo as derivadas:
\operatorname{div}(\operatorname{rot}\vec{G})= \frac{\partial^{2}G_{3}}{\partial x\partial y}-\frac{\partial^{2}G_{2}}{\partial x\partial z} +\frac{\partial^{2}G_{1}}{\partial y\partial z}-\frac{\partial^{2}G_{3}}{\partial y\partial x} +\frac{\partial^{2}G_{2}}{\partial z\partial x}-\frac{\partial^{2}G_{1}}{\partial z\partial y}.
Como assumimos que G_{1},G_{2},G_{3} têm derivadas parciais de segunda ordem contínuas, pelos teoremas de igualdade das derivadas mistas (Clairaut) vale, por exemplo,
\frac{\partial^{2}G_{3}}{\partial x\partial y}=\frac{\partial^{2}G_{3}}{\partial y\partial x},
e análogos para as outras segundas derivadas mistas. Portanto todos os termos se cancelam em pares e obtemos
\operatorname{div}(\operatorname{rot}\vec{G})=0.
Em palavras: qualquer campo que seja rotacional de outro campo tem divergência nula.

Passo 4

Agora calcule a divergência do campo fornecido \vec{F}. Usando a definição:
\operatorname{div}\vec{F}=\frac{\partial}{\partial x}(x^{2})+\frac{\partial}{\partial y}(y^{2})+\frac{\partial}{\partial z}(z^{2}).
Calculando as derivadas parciais simples:
\frac{\partial}{\partial x}(x^{2})=2x,\qquad \frac{\partial}{\partial y}(y^{2})=2y,\qquad \frac{\partial}{\partial z}(z^{2})=2z.
Logo
\operatorname{div}\vec{F}=2x+2y+2z.

Passo 5

Compare a propriedade necessária (Passo 3) com o cálculo feito (Passo 4). Se existisse algum campo \vec{G} com as hipóteses de regularidade tais que \operatorname{rot}\vec{G}=\vec{F}, então deveríamos ter
\operatorname{div}\vec{F}=\operatorname{div}(\operatorname{rot}\vec{G})=0.
Mas calculamos \operatorname{div}\vec{F}=2x+2y+2z, que não é identicamente zero (é zero somente na reta x+y+z=0, mas não em todo o espaço). Portanto há uma contradição: \operatorname{div}\vec{F} não é zero em geral, enquanto qualquer campo que seja rotacional de outro deve ter divergência zero em todo o domínio. Concluímos que não existe tal \vec{G}.

Resposta

Não existe tal campo vetorial \vec{G}. De fato, \operatorname{div}\vec{F}=2x+2y+2z\neq0 em geral, mas para qualquer campo \vec{G} com regularidade suficiente vale \operatorname{div}(\operatorname{rot}\vec{G})=0, o que contradiz \operatorname{rot}\vec{G}=\vec{F}.

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