\hline 14) & Calcule \int_{C} y \cos z \mathrm{~d} s, onde C é a hélice circular definida pelas equações x=\cos t, y=\operatorname{sen} t, z=t, \operatorname{com} 0 \leq t \leq \frac{5 \pi}{2}. \

Passo 1

O que o enunciado pede e quais informações ele dá:
  • Pede calcular a integral de linha
\int_{C} y\cos z \, \mathrm{d}s,
onde C é a hélice circular dada por
x=\cos t,\qquad y=\operatorname{sen} t,\qquad z=t,
com 0\le t\le \dfrac{5\pi}{2}.
  • Informações relevantes extraídas do enunciado:
    • A curva está parametrizada por t no intervalo \left[0,\dfrac{5\pi}{2}\right].
    • A função a integrar ao longo da curva é f(x,y,z)=y\cos z.
    • A diferencial de comprimento de arco é \mathrm{d}s, então trata-se de uma integral escalar do tipo \int_C f\,\mathrm{d}s.

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (explicação didática):
  • Para calcular uma integral de linha de uma função escalar f(x,y,z) ao longo de uma curva parametrizada por \mathbf{r}(t)=(x(t),y(t),z(t)), usamos a fórmula
\int_{C} f(x,y,z)\,\mathrm{d}s=\int_{a}^{b} f\big(x(t),y(t),z(t)\big)\,\big\lVert \mathbf{r}'(t)\big\rVert \,\mathrm{d}t.
  • Aqui \mathbf{r}'(t) é a derivada vetorial da parametrização: \mathbf{r}'(t)=(x'(t),y'(t),z'(t)).
  • \big\lVert \mathbf{r}'(t)\big\rVert é o módulo (norma) desse vetor e representa a velocidade ao longo da curva; multiplicando por \mathrm{d}t obtemos o diferencial de comprimento de arco \mathrm{d}s.
  • As variáveis a e b são os limites do parâmetro t (aqui a=0 e b=\tfrac{5\pi}{2}).
  • Em palavras mais simples: substituir a parametrização na função e multiplicar pelo comprimento instantâneo do deslocamento \lVert\mathbf{r}'(t)\rVert, e integrar em t.

Passo 3

Aplicar a parametrização e calcular \mathbf{r}'(t) e \big\lVert \mathbf{r}'(t)\big\rVert:
  • A parametrização é
\mathbf{r}(t)=\big(\cos t,\;\operatorname{sen} t,\;t\big).
  • Derivando componente a componente:
\mathbf{r}'(t)=\big(-\operatorname{sen} t,\;\cos t,\;1\big).
  • O módulo é
\big\lVert \mathbf{r}'(t)\big\rVert=\sqrt{(-\operatorname{sen} t)^2+(\cos t)^2+1^2} =\sqrt{\operatorname{sen}^2 t+\cos^2 t+1}.
  • Usando a identidade trigonométrica \operatorname{sen}^2 t+\cos^2 t=1, obtemos
\big\lVert \mathbf{r}'(t)\big\rVert=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}.
Portanto \mathrm{d}s=\sqrt{2}\,\mathrm{d}t. (Notar que é constante ao longo da hélice.)

Passo 4

Substituir f pela parametrização (explicando passo a passo):
  • A função é f(x,y,z)=y\cos z. Substituindo y=\operatorname{sen} t e z=t (peguei esses dados da parametrização fornecida), obtemos
f\big(x(t),y(t),z(t)\big)=\operatorname{sen} t\cdot \cos t.
  • Logo a integral de linha vira, usando \mathrm{d}s=\sqrt{2}\,\mathrm{d}t,
\int_{C} y\cos z\,\mathrm{d}s=\int_{0}^{5\pi/2} \big(\operatorname{sen} t\cos t\big)\,\sqrt{2}\,\mathrm{d}t.

Passo 5

Simplificar a integral usando identidades trigonométricas e preparar para integrar:
  • Usar a identidade
\operatorname{sen} t\cos t=\tfrac{1}{2}\operatorname{sen}(2t).
  • Portanto a integral fica
\int_{0}^{5\pi/2} \operatorname{sen} t\cos t\,\sqrt{2}\,\mathrm{d}t =\sqrt{2}\int_{0}^{5\pi/2}\tfrac{1}{2}\operatorname{sen}(2t)\,\mathrm{d}t =\frac{\sqrt{2}}{2}\int_{0}^{5\pi/2}\operatorname{sen}(2t)\,\mathrm{d}t.
  • Agora, a primitiva de \operatorname{sen}(2t) é -\tfrac{1}{2}\cos(2t), porque \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\big(-\tfrac{1}{2}\cos(2t)\big)= -\tfrac{1}{2}\cdot(-2)\sin(2t)=\sin(2t).

Passo 6

Calcular a integral definida usando a primitiva e avaliar nos limites:
  • Então
\frac{\sqrt{2}}{2}\int_{0}^{5\pi/2}\operatorname{sen}(2t)\,\mathrm{d}t =\frac{\sqrt{2}}{2}\left[-\tfrac{1}{2}\cos(2t)\right]_{0}^{5\pi/2} =-\frac{\sqrt{2}}{4}\big(\cos(2\cdot\tfrac{5\pi}{2})-\cos(2\cdot 0)\big).
  • Calcular os cossenos:
    • 2\cdot \dfrac{5\pi}{2}=5\pi. Como \cos(5\pi)=\cos(\pi)=-1.
    • \cos(0)=1.
  • Substituindo:
-\frac{\sqrt{2}}{4}\big(\cos(5\pi)-\cos 0\big) =-\frac{\sqrt{2}}{4}\big(-1-1\big) =-\frac{\sqrt{2}}{4}\cdot(-2) =\frac{\sqrt{2}}{2}.

Passo 7

Interpretação final e dica rápida para a prova:
  • A integral deu um valor simples \dfrac{\sqrt{2}}{2}. Observações úteis para a prova:
    • Sempre verificar se \lVert\mathbf{r}'(t)\rVert simplifica (aqui ficou constante \sqrt{2}, o que facilita muito).
    • Trocar produtos seno·cosseno por \tfrac{1}{2}\sin 2t é uma técnica padrão para integrar sem complicação.
    • Fazer a substituição direta da parametrização em f e multiplicar por \lVert\mathbf{r}'(t)\rVert é a receita fixa para integrais de linha do tipo \int_C f\,\mathrm{d}s.

Resposta

\dfrac{\sqrt{2}}{2}

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