\hline 14) & Calcule \int_{C} y \cos z \mathrm{~d} s, onde C é a hélice circular definida pelas equações x=\cos t, y=\operatorname{sen} t, z=t, \operatorname{com} 0 \leq t \leq \frac{5 \pi}{2}. \
Passo 1
O que o enunciado pede e quais informações ele dá:
A curva está parametrizada por t no intervalo \left[0,\dfrac{5\pi}{2}\right].
A função a integrar ao longo da curva é f(x,y,z)=y\cos z.
A diferencial de comprimento de arco é \mathrm{d}s, então trata-se de uma integral escalar do tipo \int_C f\,\mathrm{d}s.
Passo 2
Conceito e fórmula que vamos usar (explicação didática):
Para calcular uma integral de linha de uma função escalar f(x,y,z) ao longo de uma curva parametrizada por \mathbf{r}(t)=(x(t),y(t),z(t)), usamos a fórmula
Aqui \mathbf{r}'(t) é a derivada vetorial da parametrização: \mathbf{r}'(t)=(x'(t),y'(t),z'(t)).
\big\lVert \mathbf{r}'(t)\big\rVert é o módulo (norma) desse vetor e representa a velocidade ao longo da curva; multiplicando por \mathrm{d}t obtemos o diferencial de comprimento de arco \mathrm{d}s.
As variáveis a e b são os limites do parâmetro t (aqui a=0 e b=\tfrac{5\pi}{2}).
Em palavras mais simples: substituir a parametrização na função e multiplicar pelo comprimento instantâneo do deslocamento \lVert\mathbf{r}'(t)\rVert, e integrar em t.
Passo 3
Aplicar a parametrização e calcular \mathbf{r}'(t) e \big\lVert \mathbf{r}'(t)\big\rVert:
Agora, a primitiva de \operatorname{sen}(2t) é -\tfrac{1}{2}\cos(2t), porque \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\big(-\tfrac{1}{2}\cos(2t)\big)= -\tfrac{1}{2}\cdot(-2)\sin(2t)=\sin(2t).
Passo 6
Calcular a integral definida usando a primitiva e avaliar nos limites:
A integral deu um valor simples \dfrac{\sqrt{2}}{2}. Observações úteis para a prova:
Sempre verificar se \lVert\mathbf{r}'(t)\rVert simplifica (aqui ficou constante \sqrt{2}, o que facilita muito).
Trocar produtos seno·cosseno por \tfrac{1}{2}\sin 2t é uma técnica padrão para integrar sem complicação.
Fazer a substituição direta da parametrização em f e multiplicar por \lVert\mathbf{r}'(t)\rVert é a receita fixa para integrais de linha do tipo \int_C f\,\mathrm{d}s.