Seja \gamma_{1}:[a, b] \rightarrow \mathbb{R}^{2} uma curva de classe C^{1} e seja f(x, y) um campo escalar contínuo na imagem de \gamma_{1}. Seja \gamma_{2}:[a, b] \rightarrow \mathbb{R}^{2} dada por \gamma_{2}(t)=\gamma_{1}(a+b-t). Prove que
\int_{\gamma_{1}} f(x, y) \mathrm{d} s=\int_{\gamma_{2}} f(x, y) \mathrm{d} s
Interprete o resultado.
Passo 1
O enunciado fornece as seguintes informações e pede isto:
Informações dadas:
\gamma_{1}:[a,b]\to\mathbb{R}^2 é uma curva de classe C^1.
f(x,y) é um campo escalar contínuo na imagem de \gamma_1.
\gamma_{2}:[a,b]\to\mathbb{R}^2 é definida por \gamma_{2}(t)=\gamma_{1}(a+b-t) (ou seja, \gamma_2 é a parametrização reversa de \gamma_1 sobre o mesmo intervalo).
O que se pede:
Provar que \displaystyle \int_{\gamma_{1}} f(x,y)\,\mathrm{d}s=\int_{\gamma_{2}} f(x,y)\,\mathrm{d}s.
Interpretar o resultado (explicar o significado).
Passo 2
Recordando a definição usada aqui (isso é essencial para entender cada passo):
A integral de linha de um escalar f ao longo de uma curva \gamma:[a,b]\to\mathbb{R}^2 em relação ao comprimento de arco é dada por
\gamma(t)=(x(t),y(t)) é o ponto da curva no parâmetro t.
\gamma'(t)=(x'(t),y'(t)) é a derivada vetor (velocidade) da parametrização.
\bigl\|\gamma'(t)\bigr\|=\sqrt{(x'(t))^{2}+(y'(t))^{2}} é a velocidade escalar (módulo da derivada).
A hipótese \gamma\in C^1 garante que \gamma' existe e é contínua; a hipótese f contínuo na imagem garante que o integrando é contínuo, logo a integral de Riemann é bem definida.
Passo 3
Calcular a derivada de \gamma_{2}. Use a regra da cadeia componente a componente:
Defina u(t)=a+b-t. Então \gamma_{2}(t)=\gamma_{1}(u(t)).
A integral no lado direito é exatamente \displaystyle \int_{a}^{b} f\bigl(\gamma_{1}(t)\bigr)\,\bigl\|\gamma_{1}'(t)\bigr\|\,\mathrm{d}t=\int_{\gamma_{1}} f(x,y)\,\mathrm{d}s.
Passo 6
Concluir a igualdade. Reunindo os passos anteriores obtemos
Interpretação didática e intuitiva (com um exemplo simples para fixar):
Significado: a integral de linha de um escalar em relação ao comprimento de arco mede a soma (acumulada) de f ao longo do caminho, ponderada por pequenos comprimentos \mathrm{d}s. Essa soma depende apenas do conjunto de pontos percorridos e da velocidade em módulo (o comprimento de arco), não da direção do percurso. Inverter a parametrização (ir na direção oposta) não muda os comprimentos elementares \mathrm{d}s nem os valores de f nos pontos, portanto a integral é a mesma.
Observação comparativa: isto é diferente da integral de linha de um campo vetorial do tipo \int_{\gamma}\mathbf{F}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r}, que muda de sinal quando a orientação da curva é invertida (porque \mathrm{d}\mathbf{r} troca de sinal). No caso escalar com \mathrm{d}s, só aparece a norma \|\gamma'\|, que é insensível ao sinal.
Exemplo concreto: tome \gamma_{1}(t)=(t,0), t\in[0,1], e f(x,y)=1. Então \int_{\gamma_{1}}1\,\mathrm{d}s=\int_{0}^{1}1\cdot\|\gamma_{1}'(t)\|\,\mathrm{d}t=\int_{0}^{1}1\cdot 1\,\mathrm{d}t=1. A parametrização reversa \gamma_{2}(t)=\gamma_{1}(1+0-t)=(1-t,0) dá exatamente a mesma integral: \int_{\gamma_{2}}1\,\mathrm{d}s=1. É apenas a medida do comprimento do segmento, independente da direção.
A integral de linha escalar em relação ao comprimento de arco é independente da orientação da parametrização; inverter a direção da curva não altera o valor da integral.