Seja \gamma_{1}:[a, b] \rightarrow \mathbb{R}^{2} uma curva de classe C^{1} e seja f(x, y) um campo escalar contínuo na imagem de \gamma_{1}. Seja \gamma_{2}:[a, b] \rightarrow \mathbb{R}^{2} dada por \gamma_{2}(t)=\gamma_{1}(a+b-t). Prove que
\int_{\gamma_{1}} f(x, y) \mathrm{d} s=\int_{\gamma_{2}} f(x, y) \mathrm{d} s
Interprete o resultado.

Passo 1

O enunciado fornece as seguintes informações e pede isto:
  • Informações dadas:
    • \gamma_{1}:[a,b]\to\mathbb{R}^2 é uma curva de classe C^1.
    • f(x,y) é um campo escalar contínuo na imagem de \gamma_1.
    • \gamma_{2}:[a,b]\to\mathbb{R}^2 é definida por \gamma_{2}(t)=\gamma_{1}(a+b-t) (ou seja, \gamma_2 é a parametrização reversa de \gamma_1 sobre o mesmo intervalo).
  • O que se pede:
    1. Provar que \displaystyle \int_{\gamma_{1}} f(x,y)\,\mathrm{d}s=\int_{\gamma_{2}} f(x,y)\,\mathrm{d}s.
    2. Interpretar o resultado (explicar o significado).

Passo 2

Recordando a definição usada aqui (isso é essencial para entender cada passo):
  • A integral de linha de um escalar f ao longo de uma curva \gamma:[a,b]\to\mathbb{R}^2 em relação ao comprimento de arco é dada por
\int_{\gamma} f(x,y)\,\mathrm{d}s=\int_{a}^{b} f\bigl(\gamma(t)\bigr)\,\bigl\| \gamma'(t)\bigr\|\,\mathrm{d}t.
  • Explicando cada símbolo:
    • \gamma(t)=(x(t),y(t)) é o ponto da curva no parâmetro t.
    • \gamma'(t)=(x'(t),y'(t)) é a derivada vetor (velocidade) da parametrização.
    • \bigl\|\gamma'(t)\bigr\|=\sqrt{(x'(t))^{2}+(y'(t))^{2}} é a velocidade escalar (módulo da derivada).
    • A hipótese \gamma\in C^1 garante que \gamma' existe e é contínua; a hipótese f contínuo na imagem garante que o integrando é contínuo, logo a integral de Riemann é bem definida.

Passo 3

Calcular a derivada de \gamma_{2}. Use a regra da cadeia componente a componente:
  • Defina u(t)=a+b-t. Então \gamma_{2}(t)=\gamma_{1}(u(t)).
  • Aplicando a regra da cadeia obtemos
\gamma_{2}'(t)=\gamma_{1}'\bigl(u(t)\bigr)\cdot u'(t)=\gamma_{1}'(a+b-t)\cdot(-1)=-\gamma_{1}'(a+b-t).
  • Tomando normas (módulos) no vetor:
\bigl\|\gamma_{2}'(t)\bigr\|=\bigl\|-\gamma_{1}'(a+b-t)\bigr\|=\bigl\|\gamma_{1}'(a+b-t)\bigr\|,
pois a norma não muda ao multiplicar por -1.

Passo 4

Escrever a integral de linha ao longo de \gamma_{2} usando a definição do Passo 2 e a expressão de \gamma_{2}' do Passo 3:
\int_{\gamma_{2}} f(x,y)\,\mathrm{d}s =\int_{a}^{b} f\bigl(\gamma_{2}(t)\bigr)\,\bigl\|\gamma_{2}'(t)\bigr\|\,\mathrm{d}t =\int_{a}^{b} f\bigl(\gamma_{1}(a+b-t)\bigr)\,\bigl\|\gamma_{1}'(a+b-t)\bigr\|\,\mathrm{d}t.

Passo 5

Fazer a mudança de variável u=a+b-t na integral do Passo 4 para transformá‑la numa integral em u sobre [a,b].
  • Se u=a+b-t, então \mathrm{d}u=-\mathrm{d}t.
  • Quando t=a temos u=b e quando t=b temos u=a.
  • Substituindo na integral:
\int_{a}^{b} f\bigl(\gamma_{1}(a+b-t)\bigr)\,\bigl\|\gamma_{1}'(a+b-t)\bigr\|\,\mathrm{d}t = \int_{t=a}^{t=b} f\bigl(\gamma_{1}(u)\bigr)\,\bigl\|\gamma_{1}'(u)\bigr\|\,(-\mathrm{d}u).
  • Invertendo os limites (o que elimina o sinal menos):
= \int_{u=b}^{u=a} f\bigl(\gamma_{1}(u)\bigr)\,\bigl\|\gamma_{1}'(u)\bigr\|\,(-\mathrm{d}u) = \int_{u=a}^{u=b} f\bigl(\gamma_{1}(u)\bigr)\,\bigl\|\gamma_{1}'(u)\bigr\|\,\mathrm{d}u.
  • A integral no lado direito é exatamente \displaystyle \int_{a}^{b} f\bigl(\gamma_{1}(t)\bigr)\,\bigl\|\gamma_{1}'(t)\bigr\|\,\mathrm{d}t=\int_{\gamma_{1}} f(x,y)\,\mathrm{d}s.

Passo 6

Concluir a igualdade. Reunindo os passos anteriores obtemos
\int_{\gamma_{2}} f(x,y)\,\mathrm{d}s=\int_{\gamma_{1}} f(x,y)\,\mathrm{d}s.
Isso prova o que se pedia.

Passo 7

Interpretação didática e intuitiva (com um exemplo simples para fixar):
  • Significado: a integral de linha de um escalar em relação ao comprimento de arco mede a soma (acumulada) de f ao longo do caminho, ponderada por pequenos comprimentos \mathrm{d}s. Essa soma depende apenas do conjunto de pontos percorridos e da velocidade em módulo (o comprimento de arco), não da direção do percurso. Inverter a parametrização (ir na direção oposta) não muda os comprimentos elementares \mathrm{d}s nem os valores de f nos pontos, portanto a integral é a mesma.
  • Observação comparativa: isto é diferente da integral de linha de um campo vetorial do tipo \int_{\gamma}\mathbf{F}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r}, que muda de sinal quando a orientação da curva é invertida (porque \mathrm{d}\mathbf{r} troca de sinal). No caso escalar com \mathrm{d}s, só aparece a norma \|\gamma'\|, que é insensível ao sinal.
  • Exemplo concreto: tome \gamma_{1}(t)=(t,0), t\in[0,1], e f(x,y)=1. Então \int_{\gamma_{1}}1\,\mathrm{d}s=\int_{0}^{1}1\cdot\|\gamma_{1}'(t)\|\,\mathrm{d}t=\int_{0}^{1}1\cdot 1\,\mathrm{d}t=1. A parametrização reversa \gamma_{2}(t)=\gamma_{1}(1+0-t)=(1-t,0) dá exatamente a mesma integral: \int_{\gamma_{2}}1\,\mathrm{d}s=1. É apenas a medida do comprimento do segmento, independente da direção.

Resposta

\displaystyle \int_{\gamma_{1}} f(x,y)\,\mathrm{d}s=\int_{\gamma_{2}} f(x,y)\,\mathrm{d}s
A integral de linha escalar em relação ao comprimento de arco é independente da orientação da parametrização; inverter a direção da curva não altera o valor da integral.

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