onde r(t)=(x(t),y(t)) é uma parametrização da curva para t\in[a,b] e \lVert r'(t)\rVert é a velocidade (módulo da derivada), que fornece o elemento de comprimento ds=\lVert r'(t)\rVert dt. Em palavras: primeiro parametrisamos C, substituímos x,y em f pela parametrização, multiplicamos pelo comprimento infinitesimal \lVert r'(t)\rVert dt e integramos no intervalo de t.
Passo 3
Parametrização da circunferência: uma circunferência de centro (3,-4)\) e raio \(5\) pode ser parametrizada por
\[\begin{cases} x(t)=3+5\cos t,\\[4pt] y(t)=-4+5\sin t, \end{cases}\qquad t\in[0,2\pi].
Explicação rápida: \cos\] e \(\sin descrevem um círculo de raio 1 no parâmetro; multiplicando por 5 obtemos raio 5; somando o centro deslocamos para (3,-4). O intervalo 0 a 2\pi percorre a circunferência inteira uma vez.]
Passo 4
Calcular a derivada r'(t) e seu módulo (para obter ds). Temos
porque \cos e \sin têm média zero ao longo de um período completo. Assim
5\cdot(-2\pi)+25\cdot 0+25\cdot 0=-10\pi.
Passo 7
Interpretação curta (útil para prova): a parte variável 5(\cos t+\sin t) não contribui porque suas integrais sobre um período são zero; sobra a constante -1, que é justamente x_{\text{centro}}+y_{\text{centro}}=3+(-4)=-1. Então a integral é simplesmente (x_{\text{centro}}+y_{\text{centro}})\times perímetro = -1 \times 2\pi\cdot 5 = -10\pi. Essa observação pode acelerar a solução em prova.