Calcule \int_{C}(x+y) d s, onde C é a circunferência (x-3)^{2}+(y+4)^{2}=25.

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a integral de linha
\int_{C}(x+y)\,ds
onde C é a circunferência dada por
(x-3)^{2}+(y+4)^{2}=25.
Informações do enunciado:
  • A curva C é uma circunferência de centro (3,-4).
  • O raio da circunferência é 5 (pois 25=5^{2}).
  • A função a integrar ao longo da curva é f(x,y)=x+y.
    A partir daqui vamos parametrizar a circunferência e calcular a integral.

Passo 2

Conceito necessário (explicado com calma): a integral de uma função escalar f(x,y) ao longo de uma curva C em termos de comprimento de arco é dada por
\int_{C} f(x,y)\,ds = \int_{a}^{b} f\big(x(t),y(t)\big)\,\big\lVert r'(t)\big\rVert\,dt,
onde r(t)=(x(t),y(t)) é uma parametrização da curva para t\in[a,b] e \lVert r'(t)\rVert é a velocidade (módulo da derivada), que fornece o elemento de comprimento ds=\lVert r'(t)\rVert dt. Em palavras: primeiro parametrisamos C, substituímos x,y em f pela parametrização, multiplicamos pelo comprimento infinitesimal \lVert r'(t)\rVert dt e integramos no intervalo de t.

Passo 3

Parametrização da circunferência: uma circunferência de centro (3,-4)\) e raio \(5\) pode ser parametrizada por \[\begin{cases} x(t)=3+5\cos t,\\[4pt] y(t)=-4+5\sin t, \end{cases}\qquad t\in[0,2\pi].
Explicação rápida: \cos\] e \(\sin descrevem um círculo de raio 1 no parâmetro; multiplicando por 5 obtemos raio 5; somando o centro deslocamos para (3,-4). O intervalo 0 a 2\pi percorre a circunferência inteira uma vez.]

Passo 4

Calcular a derivada r'(t) e seu módulo (para obter ds). Temos
r'(t)=\big(x'(t),y'(t)\big)=\big(-5\sin t,\;5\cos t\big).
O módulo é
\big\lVert r'(t)\big\rVert=\sqrt{(-5\sin t)^{2}+(5\cos t)^{2}} =\sqrt{25\sin^{2}t+25\cos^{2}t} =\sqrt{25(\sin^{2}t+\cos^{2}t)}=5.
Portanto ds=\big\lVert r'(t)\big\rVert dt=5\,dt. Observação: o fato de \sin^{2}t+\cos^{2}t=1 é o que simplifica tudo aqui.

Passo 5

Substituir na integral. Primeiro escrevo x(t)+y(t):
x(t)+y(t)=\big(3+5\cos t\big)+\big(-4+5\sin t\big)=-1+5(\cos t+\sin t).
Agora aplico a fórmula da Passo 2:
\int_{C}(x+y)\,ds=\int_{0}^{2\pi}\big(x(t)+y(t)\big)\,\big\lVert r'(t)\big\rVert\,dt =\int_{0}^{2\pi}\big[-1+5(\cos t+\sin t)\big]\cdot 5\,dt.

Passo 6

Resolver a integral passo a passo. Expando e separo termos:
\int_{0}^{2\pi}\big[-1+5(\cos t+\sin t)\big]\cdot 5\,dt =5\int_{0}^{2\pi}\big(-1\big)\,dt+25\int_{0}^{2\pi}\cos t\,dt+25\int_{0}^{2\pi}\sin t\,dt.
Calculo cada integral:
\int_{0}^{2\pi}(-1)\,dt=-2\pi,
\int_{0}^{2\pi}\cos t\,dt=0,\qquad \int_{0}^{2\pi}\sin t\,dt=0,
porque \cos e \sin têm média zero ao longo de um período completo. Assim
5\cdot(-2\pi)+25\cdot 0+25\cdot 0=-10\pi.

Passo 7

Interpretação curta (útil para prova): a parte variável 5(\cos t+\sin t) não contribui porque suas integrais sobre um período são zero; sobra a constante -1, que é justamente x_{\text{centro}}+y_{\text{centro}}=3+(-4)=-1. Então a integral é simplesmente (x_{\text{centro}}+y_{\text{centro}})\times perímetro = -1 \times 2\pi\cdot 5 = -10\pi. Essa observação pode acelerar a solução em prova.

Resposta

-10\pi

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