1^{\text {n }} Questão ( 1,5 ponto cada item). Calcule:
O trabalho do campo \mathbf{F}(x, y, z)=\left(x y+e^{z}\right) \mathbf{i}+(\operatorname{sen}(y)+2 z) \mathbf{j}+\left(\cos \left(z^{z}\right)+3 y\right) \mathbf{k} ao longo da curva formada pela intersegaio do plano x+z=5 co cilindro x^{2}+y^{2}=9, orientada no sentido anti-horário (quando visto de cimm).

Passo 1

O problema pede o trabalho do campo
\mathbf{F}(x,y,z) = \bigl(xy + e^z\bigr)\mathbf{i} + \bigl(\sin(y) + 2z\bigr)\mathbf{j} + \bigl(\cos(z^z) + 3y\bigr)\mathbf{k}
ao longo da curva C definida pela interseção do cilindro x^2+y^2=9 com o plano x+z=5, orientada no sentido anti-horário quando vista de cima. Isso é uma integral de linha fechada
\oint_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}.

Passo 2

Como C está no cilindro de raio 3, projetamos no plano xy com parâmetro t\in[0,2\pi]:
x(t)=3\cos t,\quad y(t)=3\sin t,
e do plano x+z=5 segue
z(t)=5 - x(t)=5 - 3\cos t.
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\mathbf{r}(t) = \bigl(3\cos t,\;3\sin t,\;5-3\cos t\bigr),\qquad \mathbf{r}'(t)=\bigl(-3\sin t,\;3\cos t,\;3\sin t\bigr).

Passo 3

Substituindo em \mathbf{F} e fazendo o produto escalar, obtemos
\mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r}'(t) = \bigl(9\sin t\cos t + e^{5-3\cos t}\bigr)(-3\sin t) \;+\;\bigl(\sin(3\sin t)+2(5-3\cos t)\bigr)(3\cos t)
\quad+\;\bigl(\cos\bigl((5-3\cos t)^{\,5-3\cos t}\bigr)+9\sin t\bigr)(3\sin t).

Passo 4

Repare que vários termos são derivadas totais em t:
  1. -3e^{5-3\cos t}\sin t = -\frac{d}{dt}\bigl[e^{5-3\cos t}\bigr].
  2. 3\sin(3\sin t)\cos t = \frac{d}{dt}\bigl[-\cos(3\sin t)\bigr].
  3. Com u=z(t) temos du=3\sin t\,dt, então
3\sin t\,\cos\bigl(u^u\bigr)\,dt = \cos\bigl(u^u\bigr)\,du
e \displaystyle\int_{0}^{2\pi}\cos(u^u)\,du=\bigl[H(u)\bigr]_{u(0)=2}^{u(2\pi)=2}=0.
Todos esses integram zero num ciclo completo.

Passo 5

Sobram os termos em \cos^2t e \sin^2t:
\oint_C\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} = \int_{0}^{2\pi}\bigl(-18\cos^2t + 27\sin^2t\bigr)\,dt = -18\!\int_0^{2\pi}\cos^2t\,dt + 27\!\int_0^{2\pi}\sin^2t\,dt.
Usando \int_0^{2\pi}\cos^2t\,dt=\int_0^{2\pi}\sin^2t\,dt=\pi, vem
-18\pi + 27\pi = 9\pi.

Resposta

9\pi

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