Calcule \int_{C} f d s, onde C é parametrizada por \alpha(t)=\left(t^{2}, t^{3}, 0\right) \operatorname{com} t \in[0,1] e f: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}, f(x, y, z)=1+x y z.

Passo 1

O enunciado pede a integral de linha de uma função escalar f ao longo da curva C parametrizada por \alpha(t) = (t^2,\,t^3,\,0) para t\in[0,1].
O conteúdo aqui é “integrais de linha de funções escalares”, em que usamos
\int_{C} f\,ds \;=\;\int_{0}^{1} f\bigl(\alpha(t)\bigr)\,\bigl\|\alpha'(t)\bigr\|\,dt.

Passo 2

Calculamos primeiro f\bigl(\alpha(t)\bigr). Como
f(x,y,z)=1+xyz,
temos
f\bigl(\alpha(t)\bigr) =1 + (t^2)\,(t^3)\,(0) =1 + 0 =1.

Passo 3

Agora derivamos \alpha(t) e calculamos seu módulo:
\alpha'(t) = \bigl(2t,\;3t^2,\;0\bigr),
\bigl\|\alpha'(t)\bigr\| = \sqrt{(2t)^2 + (3t^2)^2 + 0^2} = \sqrt{4t^2 + 9t^4} = t\,\sqrt{4 + 9t^2}.

Passo 4

Substituindo em \displaystyle\int_{C}f\,ds, obtemos
\int_{0}^{1} 1 \cdot \bigl\|\alpha'(t)\bigr\|\,dt = \int_{0}^{1} t\,\sqrt{4 + 9t^2}\;dt.

Passo 5

Para calcular \displaystyle\int_{0}^{1} t\sqrt{4+9t^2}\,dt, use a substituição
u = 4 + 9t^2,\quad du = 18t\,dt,\quad t\,dt = \frac{du}{18}.
Quando t=0, u=4; quando t=1, u=13. Assim,
\int_{0}^{1} t\sqrt{4+9t^2}\,dt = \int_{u=4}^{13} \sqrt{u}\,\frac{du}{18} = \frac{1}{18}\int_{4}^{13} u^{\tfrac12}\,du.

Passo 6

Integramos u^{1/2}:
\frac{1}{18}\int_{4}^{13} u^{\tfrac12}\,du = \frac{1}{18}\cdot\frac{u^{\tfrac32}}{\tfrac32}\Big|_{4}^{13} = \frac{1}{18}\cdot\frac{2}{3}\bigl(13^{\tfrac32}-4^{\tfrac32}\bigr) = \frac{1}{27}\bigl(13\sqrt{13}-8\bigr).

Resposta

\int_{C} f\,ds = \frac{1}{27}\bigl(13\sqrt{13} - 8\bigr).

Exercícios relacionados