Calcule \int_{C} x y d x+x d y, sendo C o segmento de reta que sai de A(0,2) até B(1,4).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
\int_{C} x y\,dx + x\,dy,
onde C é o segmento de reta que vai de A(0,2) até B(1,4).
Informações relevantes dadas:
  • O campo (forma diferencial) é P(x,y)=x y associado a dx e Q(x,y)=x associado a dy.
  • O caminho C é um segmento de reta com pontos extremos A(0,2) e B(1,4).
  • A pergunta é: qual é o valor numérico da integral de linha \int_{C} x y\,dx + x\,dy?

Passo 2

Estratégia (o que vamos fazer e por quê). Para integrar uma forma P\,dx+Q\,dy sobre uma curva C parametrize C por uma variável t, escrevendo
x=x(t),\qquad y=y(t),\qquad t\in[t_0,t_1].
Então dx=x'(t)\,dt e dy=y'(t)\,dt e a integral fica
\int_{C} P\,dx+Q\,dy = \int_{t_0}^{t_1} \bigl(P(x(t),y(t))\,x'(t) + Q(x(t),y(t))\,y'(t)\bigr)\,dt.
Isso é direto de substituir dx e dy por x'(t)\,dt e y'(t)\,dt. Aqui o caminho é um segmento de reta, então é natural usar uma parametrização linear (interpolação) entre A e B.

Passo 3

Parametrização do segmento de reta de A(0,2) até B(1,4).
Usamos a parametrização linear
\mathbf{r}(t)=A+t(B-A),\qquad t\in[0,1].
Escrevendo as componentes:
x(t)=0+t(1-0)=t, \qquad y(t)=2+t(4-2)=2+2t, \qquad t\in[0,1].
Explicação breve: quando t=0 temos (x,y)=(0,2) e quando t=1 temos (x,y)=(1,4), e entre os dois a posição varia linearmente — é exatamente o segmento.

Passo 4

Calcular dx e dy em função de t.
Derivando:
x'(t)=\frac{d}{dt}t=1,\qquad y'(t)=\frac{d}{dt}(2+2t)=2.
Portanto
dx = x'(t)\,dt = 1\cdot dt = dt,\qquad dy = y'(t)\,dt = 2\,dt.

Passo 5

Substituir x(t), y(t), dx, dy na integral e simplificar o integrando.
Temos P(x,y)=x y e Q(x,y)=x. Substituindo:
P(x(t),y(t))=x(t)\,y(t)=t(2+2t), \qquad Q(x(t),y(t))=x(t)=t.
Então o integrando P\,x'(t)+Q\,y'(t) é
t(2+2t)\cdot 1 + t\cdot 2 = t(2+2t) + 2t.
Agora simplificar termos:
t(2+2t)+2t = 2t + 2t^2 + 2t = 4t + 2t^2.
Portanto a integral em t é
\int_{0}^{1} \bigl(4t + 2t^2\bigr)\,dt.

Passo 6

Calcular a integral em t.
Uma primitiva de 4t + 2t^2 é 2t^2 + \tfrac{2}{3}t^3, porque
\frac{d}{dt}\left(2t^2 + \tfrac{2}{3}t^3\right) = 4t + 2t^2.
Agora avaliamos de 0 a 1:
\left[2t^2 + \tfrac{2}{3}t^3\right]_{0}^{1} = \left(2\cdot 1^2 + \tfrac{2}{3}\cdot 1^3\right) - 0 = 2 + \tfrac{2}{3}.
Somando:
2 + \tfrac{2}{3} = \tfrac{6}{3} + \tfrac{2}{3} = \tfrac{8}{3}.

Resposta

\dfrac{8}{3}

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