Calcule
, sendo
o segmento de reta que sai de
até
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha
onde
é o segmento de reta que vai de
até
.
Informações relevantes dadas:
- O campo (forma diferencial) é
associado a e associado a . - O caminho
é um segmento de reta com pontos extremos e . - A pergunta é: qual é o valor numérico da integral de linha
?
Passo 2
Estratégia (o que vamos fazer e por quê). Para integrar uma forma
sobre uma curva
parametrize
por uma variável
, escrevendo
Então
e
e a integral fica
Isso é direto de substituir
e
por
e
. Aqui o caminho é um segmento de reta, então é natural usar uma parametrização linear (interpolação) entre
e
.
Passo 3
Parametrização do segmento de reta de
até
.
Usamos a parametrização linear
Escrevendo as componentes:
Explicação breve: quando
temos
e quando
temos
, e entre os dois a posição varia linearmente — é exatamente o segmento.
Passo 4
Calcular
e
em função de
.
Derivando:
Portanto
Passo 5
Substituir
,
,
,
na integral e simplificar o integrando.
Temos
e
. Substituindo:
Então o integrando
é
Agora simplificar termos:
Portanto a integral em
é
Passo 6
Calcular a integral em
.
Uma primitiva de
é
, porque
Agora avaliamos de
a
:
Somando: