Calcule \int_{C} x^{2} y \sqrt{z} d s, onde C é a curva x=t^{3}, y=t e z=t^{2}, t \in(0,2)

Passo 1

O enunciado pede que se calcule a integral de linha
\int_{C} x^{2} y \sqrt{z}\, ds,
onde a curva C é dada pela parametrização
x=t^{3},\qquad y=t,\qquad z=t^{2},\qquad t\in(0,2).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A curva já vem parametrizada por t no intervalo (0,2).
  • A função a integrar ao longo da curva é f(x,y,z)=x^{2}y\sqrt{z}.
  • Para calcular a integral de linha do tipo escalar f\,ds com curva parametrizada por \mathbf r(t), devemos passar tudo para t e usar ds=|\mathbf r'(t)|\,dt.
    Isso é tudo o que o enunciado pede: transformar a integral de linha na integral em t e avaliá‑la (ou aproximá‑la) no intervalo 0\le t\le2.

Passo 2

Relembrando a fórmula e o que cada coisa significa:
  • Se \mathbf r(t)=(x(t),y(t),z(t)) é uma parametrização de C para a\le t\le b, então a integral de linha de uma função escalar f(x,y,z) ao longo de C é
\int_{C} f(x,y,z)\,ds=\int_{a}^{b} f\big(x(t),y(t),z(t)\big)\,|\mathbf r'(t)|\,dt.
  • Aqui |\mathbf r'(t)| é o comprimento do vetor velocidade, isto é
|\mathbf r'(t)|=\sqrt{\Big(\frac{dx}{dt}\Big)^{2}+\Big(\frac{dy}{dt}\Big)^{2}+\Big(\frac{dz}{dt}\Big)^{2}}.
Vou aplicar essa fórmula item por item para a parametrização dada.

Passo 3

Calcular as derivadas da parametrização e o comprimento do vetor velocidade.
  • x(t)=t^{3}\Rightarrow \dfrac{dx}{dt}=3t^{2}.
  • y(t)=t\Rightarrow \dfrac{dy}{dt}=1.
  • z(t)=t^{2}\Rightarrow \dfrac{dz}{dt}=2t.
Portanto
|\mathbf r'(t)|=\sqrt{(3t^{2})^{2}+1^{2}+(2t)^{2}}=\sqrt{9t^{4}+1+4t^{2}}=\sqrt{9t^{4}+4t^{2}+1}.
Expliquei cada termo: somam‑se os quadrados das componentes da velocidade e tira‑se a raiz quadrada — isso dá o elemento de comprimento ds quando multiplicado por dt.

Passo 4

Substituir x(t),y(t),z(t) na função f(x,y,z)=x^{2}y\sqrt{z}.
  • x^{2}=(t^{3})^{2}=t^{6}.
  • y=t.
  • \sqrt{z}=\sqrt{t^{2}}. Como t está no intervalo (0,2) (ou seja, t>0), tem‑se \sqrt{t^{2}}=t. (Importante: se t pudesse ser negativo, usaríamos |t|.)
Então
f\big(x(t),y(t),z(t)\big)=t^{6}\cdot t\cdot t=t^{8}.
Isso simplifica bastante a parte do numerador: a função original reduz a t^{8} ao longo da curva.

Passo 5

Montar a integral em t usando os resultados anteriores.
Pela fórmula do Passo 2,
\int_{C} x^{2}y\sqrt{z}\,ds =\int_{0}^{2} t^{8}\,\sqrt{9t^{4}+4t^{2}+1}\;dt.
Expliquei: substituí a função pela forma em t ( t^{8}) e multipliquei pelo comprimento da velocidade |\mathbf r'(t)|=\sqrt{9t^{4}+4t^{2}+1}. O intervalo de integração é t de 0 a 2 (fecho do intervalo dado no enunciado).

Passo 6

Analisar se a integral pode ser calculada em forma fechada (primitiva elementar) e opções práticas.
  • A integral
\int_{0}^{2} t^{8}\sqrt{9t^{4}+4t^{2}+1}\;dt
não tem uma primitiva elementar simples expressável com funções elementares usuais (polinômios, exponenciais, senos, logaritmos, raízes simples etc.). O interior da raiz é um polinômio de grau 4 e a presença do fator t^{8} torna transformações simples pouco efetivas para obter uma primitiva elementar.
  • Em provas de cálculo normalmente o objetivo é:
    1. mostrar corretamente a passagem para a integral em t (o que já fizemos), e
    2. ou deixar a resposta na forma daquele integral definido, ou então calcular uma aproximação numérica quando exigido.
Vou então mostrar uma aproximação numérica da integral definida para que haja um valor concreto — e explicar como se faz essa aproximação.

Passo 7

Escolha de método numérico e explicação rápida.
  • Vou usar a Regra de Simpson para uma aproximação razoável. A Regra de Simpson para n subintervalos (com n par) e passo h diz:
\int_{a}^{b} f(t)\,dt \approx \frac{h}{3}\big(f(t_0)+4f(t_1)+2f(t_2)+\cdots+4f(t_{n-1})+f(t_n)\big),
onde t_k=a+kh.
  • Para a demonstração aqui uso n=4 subintervalos (é um compromisso entre trabalho manual e precisão); então h=\dfrac{2-0}{4}=0,5 e os pontos são t=0,0{,}5,1,1{,}5,2.
  • A função a avaliar é f(t)=t^{8}\sqrt{9t^{4}+4t^{2}+1}.

Passo 8

Calcular os valores de f(t) nos pontos necessários (cálculos demonstrados).
  • t_{0}=0:\quad f(0)=0^{8}\sqrt{1}=0.
  • t_{1}=0{,}5:\quad t^{8}=0{,}5^{8}=0{,}00390625. 9t^{4}+4t^{2}+1=9(0{,}5^{4})+4(0{,}5^{2})+1=9(0{,}0625)+4(0{,}25)+1=0{,}5625+1+1=2{,}5625,
\sqrt{2{,}5625}\approx1{,}60078.
f(0{,}5)\approx0{,}00390625\times1{,}60078\approx0{,}006252.
  • t_{2}=1:\quad t^{8}=1,\quad 9t^{4}+4t^{2}+1=9+4+1=14,\quad \sqrt{14}\approx3{,}741657. f(1)\approx3{,}741657.
  • t_{3}=1{,}5:\quad t^{8}=1{,}5^{8}=25{,}62890625. 9t^{4}+4t^{2}+1=9(5{,}0625)+4(2{,}25)+1=45{,}5625+9+1=55{,}5625,
\sqrt{55{,}5625}\approx7{,}455.
f(1{,}5)\approx25{,}62890625\times7{,}455\approx191{,}06.
  • t_{4}=2:\quad t^{8}=256,\quad 9t^{4}+4t^{2}+1=9(16)+4(4)+1=144+16+1=161,\quad \sqrt{161}\approx12{,}6886. f(2)\approx256\times12{,}6886\approx3{,}248{,}264.

Passo 9

Aplicar a Regra de Simpson com os valores calculados.
  • Fórmula com h=0{,}5:
I\approx\frac{h}{3}\big(f(0)+4f(0{,}5)+2f(1)+4f(1{,}5)+f(2)\big).
  • Substituindo os números:
I\approx\frac{0{,}5}{3}\big(0+4(0{,}006252)+2(3{,}741657)+4(191{,}06)+3{,}248{,}264\big).
  • Calcular a soma interna:
0+0{,}025008+7{,}483314+764{,}24+3{,}248{,}264\approx4{,}020{,}012.
  • Multiplicando por 0{,}5/3=1/6:
I\approx\frac{4{,}020{,}012}{6}\approx670{,}002.
Portanto a aproximação obtida com Simpson (com n=4) é aproximadamente 670{,}00. Com subdivisões mais finas esse valor pode ajustar-se um pouco, mas esse é já um valor com precisão razoável para uma avaliação manual.

Resposta

\displaystyle \int_{C} x^{2}y\sqrt{z}\,ds=\int_{0}^{2} t^{8}\sqrt{9t^{4}+4t^{2}+1}\,dt\approx670{,}00

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