Calcule
, onde
é a curva
e
Passo 1
O enunciado pede que se calcule a integral de linha
onde a curva
é dada pela parametrização
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A curva já vem parametrizada por
no intervalo . - A função a integrar ao longo da curva é
. - Para calcular a integral de linha do tipo escalar
com curva parametrizada por , devemos passar tudo para e usar .
Isso é tudo o que o enunciado pede: transformar a integral de linha na integral eme avaliá‑la (ou aproximá‑la) no intervalo .
Passo 2
Relembrando a fórmula e o que cada coisa significa:
- Se
é uma parametrização de para , então a integral de linha de uma função escalar ao longo de é
- Aqui
é o comprimento do vetor velocidade, isto é
Vou aplicar essa fórmula item por item para a parametrização dada.
Passo 3
Calcular as derivadas da parametrização e o comprimento do vetor velocidade.
Portanto
Expliquei cada termo: somam‑se os quadrados das componentes da velocidade e tira‑se a raiz quadrada — isso dá o elemento de comprimento
quando multiplicado por
.
Passo 4
Substituir
na função
.
-
-
-
. Como está no intervalo (ou seja, ), tem‑se . (Importante: se pudesse ser negativo, usaríamos .)
Então
Isso simplifica bastante a parte do numerador: a função original reduz a
ao longo da curva.
Passo 5
Montar a integral em
usando os resultados anteriores.
Pela fórmula do Passo 2,
Pela fórmula do Passo 2,
Expliquei: substituí a função pela forma em
(
) e multipliquei pelo comprimento da velocidade
. O intervalo de integração é
de
a
(fecho do intervalo dado no enunciado).
Passo 6
Analisar se a integral pode ser calculada em forma fechada (primitiva elementar) e opções práticas.
- A integral
não tem uma primitiva elementar simples expressável com funções elementares usuais (polinômios, exponenciais, senos, logaritmos, raízes simples etc.). O interior da raiz é um polinômio de grau 4 e a presença do fator
torna transformações simples pouco efetivas para obter uma primitiva elementar.
- Em provas de cálculo normalmente o objetivo é:
- mostrar corretamente a passagem para a integral em
(o que já fizemos), e - ou deixar a resposta na forma daquele integral definido, ou então calcular uma aproximação numérica quando exigido.
- mostrar corretamente a passagem para a integral em
Vou então mostrar uma aproximação numérica da integral definida para que haja um valor concreto — e explicar como se faz essa aproximação.
Passo 7
Escolha de método numérico e explicação rápida.
- Vou usar a Regra de Simpson para uma aproximação razoável. A Regra de Simpson para
subintervalos (com par) e passo diz:
onde
.
- Para a demonstração aqui uso
subintervalos (é um compromisso entre trabalho manual e precisão); então e os pontos são . - A função a avaliar é
.
Passo 8
Calcular os valores de
nos pontos necessários (cálculos demonstrados).
Passo 9
Aplicar a Regra de Simpson com os valores calculados.
- Fórmula com
:
- Substituindo os números:
- Calcular a soma interna:
- Multiplicando por
:
Portanto a aproximação obtida com Simpson (com
) é aproximadamente
. Com subdivisões mais finas esse valor pode ajustar-se um pouco, mas esse é já um valor com precisão razoável para uma avaliação manual.