Considere o campo vetorial
(e)
\mathbf{F}(x, y)=\left(2 x y, x^{2}-y\right) .
i. Verifique se \mathbf{F} é conservativo.
ii. Caso seja conservativo, calcule
\int_{C} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{r}
onde C é qualquer curva ligando (1,1) a (2,3).

Passo 1

O enunciado nos dá o campo vetorial \mathbf{F} e pede duas coisas:
  • Dados: \mathbf{F}(x,y)=\bigl(2xy,\;x^{2}-y\bigr).
  • Pergunta (i): Verificar se \mathbf{F} é conservativo.
  • Pergunta (ii): Caso seja conservativo, calcular \displaystyle \int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}, onde C é qualquer curva que liga (1,1) a (2,3).

Passo 2

O que significa ser conservativo e como testar (explicação didática).
  • Um campo vetorial planar \mathbf{F}=(P,Q) é conservativo se existe uma função escalar \varphi(x,y) (chamada potencial) tal que \nabla\varphi=\bigl(\frac{\partial\varphi}{\partial x},\frac{\partial\varphi}{\partial y}\bigr)=(P,Q). Nesse caso, as integrais de linha entre dois pontos não dependem da curva, apenas dos pontos finais.
  • Um teste prático: se P e Q têm derivadas parciais contínuas numa região simplesmente conexa do plano, então \mathbf{F} é conservativo se e somente se
\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}.
Aqui, “simply connected” (simplesmente conexa) significa que a região não tem buracos; o plano todo \mathbb{R}^2 é simplesmente conexo, então basta verificar a igualdade das derivadas parciais.

Passo 3

Aplicando o teste ao campo dado.
  • Identifico P(x,y)=2xy e Q(x,y)=x^{2}-y.
  • Calculo as derivadas parciais relevantes:
\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(2xy)=2x, \qquad \frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(x^{2}-y)=2x.
  • Como \dfrac{\partial P}{\partial y}=\dfrac{\partial Q}{\partial x}=2x e as funções são polinomiais (logo têm derivadas contínuas) em toda \mathbb{R}^2 (que é simplesmente conexa), concluímos que o campo é conservativo.

Passo 4

O que fazer quando o campo é conservativo: encontrar a função potencial \varphi (a “antiderivada” vetorial).
  • Precisamos achar \varphi(x,y) tal que
\frac{\partial\varphi}{\partial x}=P(x,y)=2xy \qquad\text{e}\qquad \frac{\partial\varphi}{\partial y}=Q(x,y)=x^{2}-y.
  • Primeiro integro P em relação a x, tratando y como constante. Isso gera uma primitiva em x mais uma função desconhecida de y (constante de integração que pode depender de y):
\varphi(x,y)=\int 2xy\,dx = x^{2}y + g(y),
onde g(y) é uma função que ainda não conhecemos.

Passo 5

Determinar g(y) impondo a segunda igualdade.
  • Calculo \dfrac{\partial\varphi}{\partial y} a partir da expressão encontrada:
\frac{\partial\varphi}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^{2}y+g(y)\bigr)=x^{2}+g'(y).
  • Impor que isto seja igual a Q(x,y)=x^{2}-y
x^{2}+g'(y)=x^{2}-y \quad\Longrightarrow\quad g'(y)=-y.
  • Integro g'(y) para obter g(y):
g(y)=\int -y\,dy = -\frac{1}{2}y^{2}+C,
onde C é constante (irrelevante para integrais de linha).

Passo 6

Escrevo a função potencial completa e confirmo.
  • Assim
\varphi(x,y)=x^{2}y-\frac{1}{2}y^{2}+C.
  • Pode-se checar rapidamente diferenciando: \partial\varphi/\partial x=2xy e \partial\varphi/\partial y=x^{2}-y, compatível com P e Q.

Passo 7

Calcular a integral de linha usando o potencial (Teorema fundamental para campos conservativos).
  • Para um campo conservativo, \displaystyle\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\varphi(\text{ponto final})-\varphi(\text{ponto inicial}), independente do caminho C.
  • Aqui queremos a integral de (1,1) a (2,3). Uso \varphi sem me importar com C:
\varphi(2,3)=2^{2}\cdot 3-\frac{1}{2}\cdot 3^{2}=4\cdot 3-\frac{9}{2}=\frac{24-9}{2}=\frac{15}{2},
\varphi(1,1)=1^{2}\cdot 1-\frac{1}{2}\cdot 1^{2}=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}.
  • Portanto a integral é
\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\varphi(2,3)-\varphi(1,1)=\frac{15}{2}-\frac{1}{2}=\frac{14}{2}=7.

Resposta

i. Sim; \mathbf{F} é conservativo. Um potencial é \varphi(x,y)=x^{2}y-\dfrac{1}{2}y^{2}+C.
ii. \displaystyle \int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=7

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