Considere o campo vetorial
(e)
i. Verifique se
é conservativo.
ii. Caso seja conservativo, calcule
onde
é qualquer curva ligando
a
.
(e)
ii. Caso seja conservativo, calcule
Passo 1
O enunciado nos dá o campo vetorial
e pede duas coisas:
- Dados:
. - Pergunta (i): Verificar se
é conservativo. - Pergunta (ii): Caso seja conservativo, calcular
, onde é qualquer curva que liga a .
Passo 2
O que significa ser conservativo e como testar (explicação didática).
- Um campo vetorial planar
é conservativo se existe uma função escalar (chamada potencial) tal que . Nesse caso, as integrais de linha entre dois pontos não dependem da curva, apenas dos pontos finais. - Um teste prático: se
e têm derivadas parciais contínuas numa região simplesmente conexa do plano, então é conservativo se e somente se
Aqui, “simply connected” (simplesmente conexa) significa que a região não tem buracos; o plano todo
é simplesmente conexo, então basta verificar a igualdade das derivadas parciais.
Passo 3
Aplicando o teste ao campo dado.
- Identifico
e . - Calculo as derivadas parciais relevantes:
- Como
e as funções são polinomiais (logo têm derivadas contínuas) em toda (que é simplesmente conexa), concluímos que o campo é conservativo.
Passo 4
O que fazer quando o campo é conservativo: encontrar a função potencial
(a “antiderivada” vetorial).
- Precisamos achar
tal que
- Primeiro integro
em relação a , tratando como constante. Isso gera uma primitiva em mais uma função desconhecida de (constante de integração que pode depender de ):
onde
é uma função que ainda não conhecemos.
Passo 5
Determinar
impondo a segunda igualdade.
- Calculo
a partir da expressão encontrada:
- Impor que isto seja igual a
dá
- Integro
para obter :
onde
é constante (irrelevante para integrais de linha).
Passo 6
Escrevo a função potencial completa e confirmo.
- Assim
- Pode-se checar rapidamente diferenciando:
e , compatível com e .
Passo 7
Calcular a integral de linha usando o potencial (Teorema fundamental para campos conservativos).
- Para um campo conservativo,
, independente do caminho . - Aqui queremos a integral de
a . Uso sem me importar com :
- Portanto a integral é
Resposta
i. Sim;
é conservativo. Um potencial é
.
ii.