Calcule
onde
é qualquer contorno que ligue
a 3 .
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral
onde
é qualquer contorno que liga
a
. Informações relevantes fornecidas:
- A função integranda é
. - O contorno
começa em e termina em . - O enunciado permite qualquer trajetória entre
e (ou seja, o valor da integral não deve depender do caminho, se pudermos justificar isso).
Passo 2
Decisão do método: usar primitiva (antiderivada) porque
é um polinômio (função inteira), logo possui primitiva em todo o plano complexo. Vou explicar a ideia e o teorema que usamos.
A ideia-chave (Teorema fundamental para integrais de linha em
):
Se é contínua em um domínio que contém o caminho
e
é uma primitiva de
nesse domínio (isto é,
para todo
do domínio), então, para qualquer caminho
que vá de
até
,
Se
Explicação simples do que é primitiva: uma função
é primitiva de
quando derivando
obtemos
. Para polinômios a primitiva pode ser encontrada com a regra de potência (idem ao caso real).
Passo 3
Achar uma primitiva de
.
Regra de potência (lembrando e aplicando): para inteiros positivos
, vale
. Aplicando com
obtemos
Portanto uma primitiva de
é
Como
é inteira, essa primitiva vale em todo o plano e o valor da integral entre dois pontos independe do caminho.
Passo 4
Aplicar o teorema fundamental com
entre os pontos inicial e final: o caminho vai de
até
. Assim
Calcular os termos:
Para
: sabemos que
, logo
. Então
Substituindo em
obtemos