Calcule
\int_{C} z^{2} d z
onde C é qualquer contorno que ligue i a 3 .

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral
\int_{C} z^{2}\,dz
onde C é qualquer contorno que liga i a 3. Informações relevantes fornecidas:
  • A função integranda é z^{2}.
  • O contorno C começa em z=i e termina em z=3.
  • O enunciado permite qualquer trajetória entre i e 3 (ou seja, o valor da integral não deve depender do caminho, se pudermos justificar isso).

Passo 2

Decisão do método: usar primitiva (antiderivada) porque z^{2} é um polinômio (função inteira), logo possui primitiva em todo o plano complexo. Vou explicar a ideia e o teorema que usamos.
A ideia-chave (Teorema fundamental para integrais de linha em \mathbb{C}):
Se f é contínua em um domínio que contém o caminho C e F é uma primitiva de f nesse domínio (isto é, F'(z)=f(z) para todo z do domínio), então, para qualquer caminho C que vá de z=a até z=b,
\int_{C} f(z)\,dz = F(b)-F(a).
Explicação simples do que é primitiva: uma função F é primitiva de f quando derivando F obtemos f. Para polinômios a primitiva pode ser encontrada com a regra de potência (idem ao caso real).

Passo 3

Achar uma primitiva de f(z)=z^{2}.
Regra de potência (lembrando e aplicando): para inteiros positivos n, vale \dfrac{d}{dz} z^{n} = n z^{n-1}. Aplicando com n=3 obtemos
\frac{d}{dz}\left(\frac{z^{3}}{3}\right)=\frac{1}{3}\cdot 3 z^{2}=z^{2}.
Portanto uma primitiva de z^{2} é
F(z)=\frac{z^{3}}{3}.
Como z^{2} é inteira, essa primitiva vale em todo o plano e o valor da integral entre dois pontos independe do caminho.

Passo 4

Aplicar o teorema fundamental com F entre os pontos inicial e final: o caminho vai de a=i até b=3. Assim
\int_{C} z^{2}\,dz = F(3)-F(i)=\frac{3^{3}}{3}-\frac{i^{3}}{3}.
Calcular os termos:
\frac{3^{3}}{3}=\frac{27}{3}=9.
Para i^{3}: sabemos que i^{2}=-1, logo i^{3}=i^{2}\cdot i = -1\cdot i = -i. Então
\frac{i^{3}}{3}=\frac{-i}{3}=-\frac{i}{3}.
Substituindo em F(3)-F(i) obtemos
9 - \left(-\frac{i}{3}\right)=9+\frac{i}{3}.

Resposta

9+\dfrac{i}{3}

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