Prove que
\left|e^{z^{2}}\right| \leq e^{|z|^{2}} \quad \text { para todo } z \in \mathbb{C}

Passo 1

O que o enunciado pede: provar que
\left|e^{z^{2}}\right| \leq e^{|z|^{2}}\quad\text{para todo }z\in\mathbb{C}.
Informações relevantes dadas/úteis (todas extraídas do enunciado ou são definições básicas que posso usar):
  • z é um número complexo qualquer.
  • Para um número complexo z escrevemos z=x+iy com x,y\in\mathbb{R}.
  • O quadrado do módulo é |z|^{2}=x^{2}+y^{2}.
  • A exponencial complexa satisfaz as fórmulas padrão (serão usadas na resolução).

Passo 2

Escrevo z em coordenadas reais:
z = x + i y,\qquad x,y\in\mathbb{R}.
Calculo z^{2}:
z^{2}=(x+iy)^{2}=x^{2}-y^{2}+2ixy.
Aqui identifiquei a parte real e a parte imaginária de z^{2}: a parte real é x^{2}-y^{2} e a parte imaginária é 2xy.

Passo 3

Escrevo a exponencial de z^{2} separando parte real e imaginária. Se eu chamar
u = x^{2}-y^{2},\qquad v=2xy,
então
e^{z^{2}} = e^{u+iv} = e^{u}\,e^{iv}.
Usando a fórmula de Euler, e^{iv}=\cos v + i\sin v, portanto
e^{z^{2}} = e^{u}(\cos v + i\sin v).

Passo 4

Agora uso a definição de módulo de um número complexo. Para qualquer número complexo w=p+iq vale
|w|=\sqrt{p^{2}+q^{2}}.
Aplicando isso a e^{z^{2}}=e^{u}(\cos v + i\sin v) obtemos
\left|e^{z^{2}}\right|=e^{u}\sqrt{\cos^{2}v+\sin^{2}v}.
Como \cos^{2}v+\sin^{2}v=1, isso simplifica para
\left|e^{z^{2}}\right|=e^{u}.
Observação geral (útil em muitos problemas): para qualquer w\in\mathbb{C} com \operatorname{Re}(w)=\alpha tem-se |e^{w}|=e^{\alpha}. Aqui \alpha=u.

Passo 5

Comparo u com |z|^{2}. Lembro que |z|^{2}=x^{2}+y^{2}. Então
u = x^{2}-y^{2} \le x^{2}+y^{2}=|z|^{2},
porque -y^{2}\le +y^{2} (já que y^{2}\ge 0). A função exponencial é estritamente crescente em \mathbb{R}, logo de u\le |z|^{2} segue
e^{u}\le e^{|z|^{2}}.

Passo 6

Juntando os resultados dos passos anteriores:
\left|e^{z^{2}}\right| = e^{u} \le e^{|z|^{2}}.
Isso é exatamente a desigualdade que queríamos provar, válida para todo z\in\mathbb{C}.

Passo 7

Exemplo rápido para consolidar a intuição: tome z=1+i. Então z^{2}=0+2i, logo \left|e^{z^{2}}\right|=e^{0}=1 e |z|^{2}=1^{2}+1^{2}=2 de modo que 1\le e^{2}. OK!

Resposta

\left|e^{z^{2}}\right| \leq e^{|z|^{2}}

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