Observação geral (útil em muitos problemas): para qualquer w\in\mathbb{C} com \operatorname{Re}(w)=\alpha tem-se |e^{w}|=e^{\alpha}. Aqui \alpha=u.
Passo 5
Comparo u com |z|^{2}. Lembro que |z|^{2}=x^{2}+y^{2}. Então
u = x^{2}-y^{2} \le x^{2}+y^{2}=|z|^{2},
porque -y^{2}\le +y^{2} (já que y^{2}\ge 0). A função exponencial é estritamente crescente em \mathbb{R}, logo de u\le |z|^{2} segue
e^{u}\le e^{|z|^{2}}.
Passo 6
Juntando os resultados dos passos anteriores:
\left|e^{z^{2}}\right| = e^{u} \le e^{|z|^{2}}.
Isso é exatamente a desigualdade que queríamos provar, válida para todo z\in\mathbb{C}.
Passo 7
Exemplo rápido para consolidar a intuição: tome z=1+i. Então z^{2}=0+2i, logo \left|e^{z^{2}}\right|=e^{0}=1 e |z|^{2}=1^{2}+1^{2}=2 de modo que 1\le e^{2}. OK!