Mostre que
\left|\int_{C} \frac{z+4}{z^{3}-1} d z\right| \leq \frac{6 \pi}{7}
onde C é o arco do círculo |z|=2 que vai de 2 até 2 i.

Passo 1

O enunciado pede que se mostre a desigualdade
\left|\int_{C} \frac{z+4}{z^{3}-1}\,dz\right| \leq \frac{6\pi}{7},
onde C é o arco do círculo |z|=2 que vai de 2 até 2i. Informações importantes dadas:
  • O caminho C está contido na circunferência |z|=2.
  • Os pontos inicial e final são z=2 (ângulo 0) e z=2i (ângulo \tfrac{\pi}{2}), portanto C é um arco de ângulo \tfrac{\pi}{2} (um quarto de circunferência) e raio 2.
  • A função a ser integrada é f(z)=\dfrac{z+4}{z^{3}-1}.

Passo 2

Estratégia que será usada (apenas declaração da ferramenta): vamos estimar o valor absoluto da integral usando a desigualdade padrão de integração complexa (às vezes chamada de lema M\!L):
\left|\int_{C} f(z)\,dz\right| \leq M\cdot L,
onde M=\max_{z\in C}|f(z)| e L é o comprimento do caminho C. Vou explicar e justificar cada peça: como obter M (limites para |f(z)| em C) e como calcular L.

Passo 3

Explicação e cálculo do limite superior para o numerador |z+4| quando z\in C.
Usamos a desigualdade triangular: para quaisquer complexos a,b vale |a+b|\le |a|+|b|. Tomando a=z e b=4 e lembrando que para z\in C tem-se |z|=2, obtemos
|z+4| \le |z| + 4 = 2 + 4 = 6.
Portanto, sobre C temos a estimativa |z+4|\le 6.

Passo 4

Explicação e cálculo do limite inferior para o denominador |z^{3}-1| quando z\in C.
Usamos a desigualdade reversa da triangular (ou propriedade triangular em forma apropriada): para quaisquer complexos a,b vale
|a-b| \ge \bigl||a|-|b|\bigr|.
Tomando a=z^{3} e b=1, e lembrando que para z\in C tem-se |z|=2 e então |z^{3}|=|z|^{3}=8, segue
|z^{3}-1| \ge \bigl||z^{3}| - |1|\bigr| = |8-1| = 7.
Logo, sobre C temos |z^{3}-1|\ge 7, isto é, o denominador nunca fica menor que 7 em módulo.

Passo 5

Combinar as estimativas para obter M.
A partir de |z+4|\le 6 e |z^{3}-1|\ge 7, para z\in C temos
\left|\frac{z+4}{z^{3}-1}\right| = \frac{|z+4|}{|z^{3}-1|} \le \frac{6}{7}.
Portanto podemos tomar
M=\max_{z\in C}\left|\frac{z+4}{z^{3}-1}\right| \le \frac{6}{7}.

Passo 6

Cálculo do comprimento L do arco C.
Parametrizamos o arco por \displaystyle z(t)=2e^{it}, com t variando de 0 a \tfrac{\pi}{2} (porque os ângulos correspondentes a 2 e 2i são 0 e \tfrac{\pi}{2}). Então
\frac{dz}{dt} = 2 i e^{it},\qquad |dz| = \left|\frac{dz}{dt}\right|dt = 2\,dt.
O comprimento do arco é
L=\int_{0}^{\tfrac{\pi}{2}} 2\,dt = 2\cdot\frac{\pi}{2} = \pi.
(Comentário didático: em geral, para um arco circular de raio r e ângulo central \theta o comprimento é r\theta; aqui r=2 e \theta=\tfrac{\pi}{2}, logo L=2\cdot\tfrac{\pi}{2}=\pi.)

Passo 7

Aplicar o lema M\!L e concluir a desigualdade.
Pelo lema M\!L,
\left|\int_{C} \frac{z+4}{z^{3}-1}\,dz\right| \le M\cdot L \le \frac{6}{7}\cdot \pi = \frac{6\pi}{7}.
Isso é exatamente o que se queria mostrar.

Resposta

\left|\int_{C} \frac{z+4}{z^{3}-1}\,dz\right| \le \frac{6\pi}{7}

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