Mostre que
no ramo dado por
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que
quando o ramo escolhido para o argumento é
Informações dadas:
- O ramo (ou intervalo de argumentos) é
. - É preciso comparar os valores da função logarítmo complexo neste ramo para
e para .
Passo 2
Relembrando a definição do logaritmo complexo num ramo: se
com
e
escolhido no intervalo do ramo, então o valor do log neste ramo é
onde
é o logaritmo real de
e
é a única escolha do argumento dentro do ramo dado. Importante: o log complexo é multivalorado no conjunto toda a reta complexa sem 0, mas ao escolher um ramo (um intervalo para
) torna-se unívoco dentro desse ramo.
Passo 3
Vamos calcular
. O número
pode ser escrito como
ou seja, os argumentos possíveis são
. Precisamos escolher o
tal que o argumento caia no ramo
.
Teste
:
não satisfaz
(porque
).
Teste :
. Verificamos as desigualdades:
Teste
pois multiplicando por
obtemos
e
, ambas verdadeiras. Logo
pertence ao ramo.
Passo 4
Assim, no ramo dado o argumento escolhido para
é
. Como
(logo
), temos
Passo 5
Agora calculamos
. Primeiro
. Uma representação válida é
e verificamos que
pertence ao ramo porque
Então, como
,
Passo 6
Calculemos
usando o resultado do Passo 4:
Comparando com
do Passo 5, temos
A diferença é
portanto
no ramo dado. (Observação útil: a diferença
é um múltiplo de
, mostrando que a discrepância vem da natureza multivalorada do log complexo.)