Mostre que
\log \left(i^{2}\right) \neq 2 \log (i)
no ramo dado por \frac{3 \pi}{4}<\theta<\frac{11 \pi}{4}.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
\log\left(i^{2}\right) \neq 2\log(i)
quando o ramo escolhido para o argumento é
\frac{3\pi}{4} < \theta < \frac{11\pi}{4}.
Informações dadas:
  • O ramo (ou intervalo de argumentos) é \frac{3\pi}{4}<\theta<\frac{11\pi}{4}.
  • É preciso comparar os valores da função logarítmo complexo neste ramo para i e para i^{2}.

Passo 2

Relembrando a definição do logaritmo complexo num ramo: se z=re^{i\varphi} com r>0 e \varphi escolhido no intervalo do ramo, então o valor do log neste ramo é
\log z = \ln r + i\varphi,
onde \ln r é o logaritmo real de r e \varphi é a única escolha do argumento dentro do ramo dado. Importante: o log complexo é multivalorado no conjunto toda a reta complexa sem 0, mas ao escolher um ramo (um intervalo para \varphi) torna-se unívoco dentro desse ramo.

Passo 3

Vamos calcular \log(i). O número i pode ser escrito como
i = e^{i(\pi/2 + 2\pi k)},\quad k\in\mathbb{Z},
ou seja, os argumentos possíveis são \pi/2 + 2\pi k. Precisamos escolher o k tal que o argumento caia no ramo \frac{3\pi}{4}<\theta<\frac{11\pi}{4}.
Teste k=0: \pi/2 não satisfaz \frac{3\pi}{4}<\pi/2 (porque \pi/2<3\pi/4).
Teste k=1: \pi/2 + 2\pi = \frac{5\pi}{2}. Verificamos as desigualdades:
\frac{3\pi}{4} < \frac{5\pi}{2} \quad\text{e}\quad \frac{5\pi}{2} < \frac{11\pi}{4},
pois multiplicando por 4 obtemos 3\pi<10\pi e 10\pi<11\pi, ambas verdadeiras. Logo \frac{5\pi}{2} pertence ao ramo.

Passo 4

Assim, no ramo dado o argumento escolhido para i é \theta=\frac{5\pi}{2}. Como |i|=1 (logo \ln|i|=\ln 1=0), temos
\log(i)=\ln 1 + i\frac{5\pi}{2} = i\frac{5\pi}{2}.

Passo 5

Agora calculamos \log(i^{2}). Primeiro i^{2}=-1. Uma representação válida é
-1 = e^{i\pi},
e verificamos que \pi pertence ao ramo porque
\frac{3\pi}{4} < \pi < \frac{11\pi}{4}.
Então, como |-1|=1,
\log(i^{2}) = \log(-1) = \ln 1 + i\pi = i\pi.

Passo 6

Calculemos 2\log(i) usando o resultado do Passo 4:
2\log(i) = 2\left(i\frac{5\pi}{2}\right) = i5\pi.
Comparando com \log(i^{2}) do Passo 5, temos
\log(i^{2}) = i\pi \quad\text{e}\quad 2\log(i) = i5\pi.
A diferença é
2\log(i) - \log(i^{2}) = i5\pi - i\pi = i4\pi \neq 0,
portanto \log(i^{2}) \neq 2\log(i) no ramo dado. (Observação útil: a diferença i4\pi é um múltiplo de 2\pi i, mostrando que a discrepância vem da natureza multivalorada do log complexo.)

Resposta

\log(i^{2})=i\pi
2\log(i)=i5\pi

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