O caminho C é o segmento de reta com extremos z=i e z=1.
A função a integrar é f(z)=\dfrac{1}{z^{4}}.
Queremos uma desigualdade do valor absoluto da integral (uma estimativa superior).
Passo 2
Vou usar o lema de estimação (ML-inequality). Ele diz o seguinte: se f é contínua em C, então
\left|\int_{C} f(z)\,dz\right| \le M\cdot L,
onde M=\sup_{z\in C} |f(z)| e L é o comprimento do caminho C.
Explicando devagar: |\int_C f| \le \int_C |f| (desigualdade triangular para integrais) e como |f(z)|\le M para todo z\in C, obtemos \int_C |f|\le M\int_C |dz| = M L. Aqui |dz| é a diferencial de comprimento e \int_C |dz|=L.
Passo 3
Parametrizo o segmento C. Uma parametrização natural é interpolar linearmente entre i e 1. Para t\in[0,1] tomo
z(t)=t + i(1-t),
então z(0)=i e z(1)=1. A derivada em relação a t é
Agora preciso de M=\sup_{z\in C} \left|\dfrac{1}{z^{4}}\right|=\sup_{z\in C} \dfrac{1}{|z|^{4}}=\dfrac{1}{\inf_{z\in C}|z|^{4}}.
Logo é suficiente encontrar o menor valor de |z| ao longo do segmento.
Usando a parametrização z(t)=t+i(1-t), o quadrado do módulo é