Seja C o segmento de reta que vai de i até 1 . Mostre que
\left|\int_{C} \frac{1}{z^{4}} d z\right| \leq 4 \sqrt{2}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para o segmento de reta C que vai do ponto i até o ponto 1,
\left|\int_{C} \frac{1}{z^{4}} \, dz\right| \leq 4\sqrt{2}.
Informações dadas:
  • O caminho C é o segmento de reta com extremos z=i e z=1.
  • A função a integrar é f(z)=\dfrac{1}{z^{4}}.
  • Queremos uma desigualdade do valor absoluto da integral (uma estimativa superior).

Passo 2

Vou usar o lema de estimação (ML-inequality). Ele diz o seguinte: se f é contínua em C, então
\left|\int_{C} f(z)\,dz\right| \le M\cdot L,
onde M=\sup_{z\in C} |f(z)| e L é o comprimento do caminho C.
Explicando devagar: |\int_C f| \le \int_C |f| (desigualdade triangular para integrais) e como |f(z)|\le M para todo z\in C, obtemos \int_C |f|\le M\int_C |dz| = M L. Aqui |dz| é a diferencial de comprimento e \int_C |dz|=L.

Passo 3

Parametrizo o segmento C. Uma parametrização natural é interpolar linearmente entre i e 1. Para t\in[0,1] tomo
z(t)=t + i(1-t),
então z(0)=i e z(1)=1. A derivada em relação a t é
z'(t)=1 - i.
O comprimento L do segmento é
L=\int_{0}^{1} |z'(t)|\,dt = |1-i|\int_{0}^{1} dt = |1-i|.
Calculo |1-i|: |1-i|=\sqrt{1^{2}+(-1)^{2}}=\sqrt{2}. Portanto
L=\sqrt{2}.

Passo 4

Agora preciso de M=\sup_{z\in C} \left|\dfrac{1}{z^{4}}\right|=\sup_{z\in C} \dfrac{1}{|z|^{4}}=\dfrac{1}{\inf_{z\in C}|z|^{4}}.
Logo é suficiente encontrar o menor valor de |z| ao longo do segmento.
Usando a parametrização z(t)=t+i(1-t), o quadrado do módulo é
|z(t)|^{2}=t^{2}+(1-t)^{2}=2t^{2}-2t+1=2\bigl(t-\tfrac{1}{2}\bigr)^{2}+\tfrac{1}{2}.
Essa expressão é uma parábola em t com mínimo em t=\tfrac{1}{2}. Substituindo t=\tfrac{1}{2} obtemos
|z|_{\min}^{2}=\tfrac{1}{2}\quad\Rightarrow\quad |z|_{\min}=\frac{1}{\sqrt{2}}.
Portanto
M=\frac{1}{\bigl(|z|_{\min}\bigr)^{4}}=\frac{1}{\left(\tfrac{1}{\sqrt{2}}\right)^{4}}.
Calculo \left(\tfrac{1}{\sqrt{2}}\right)^{4}=\tfrac{1}{2^{2}}=\tfrac{1}{4}, então
M=4.

Passo 5

Aplicando o lema de estimação com M=4 e L=\sqrt{2},
\left|\int_{C} \frac{1}{z^{4}}\,dz\right| \le M\cdot L = 4\cdot \sqrt{2} = 4\sqrt{2}.
Pronto — obtivemos exatamente a desigualdade pedida.

Resposta

4\sqrt{2}

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