(2 pontos) Resolva o seguinte PVI:
Passo 1
O enunciado nos dá o PVI
É uma equação diferencial de primeira ordem separável. Vamos separar as variáveis
de
, integrar ambos os lados e impor a condição inicial.
Passo 2
Reescrevendo com
, temos
e então separamos as variáveis:
Passo 3
Integramos o lado em
:
Passo 4
Integramos o lado em
por partes. Seja
e
. Então
e
. Logo
Passo 5
Igualando as duas integrais e incluindo constante
, obtemos a solução geral implícita:
Passo 6
Aplicamos a condição inicial
. No lado esquerdo:
e no direito:
Igualando,
Passo 7
Substituindo
de volta, a solução implícita que satisfaz
é
Resposta
A solução do PVI é dada implicitamente por