(2 pontos) Resolva o seguinte PVI:
x \cos x=\left(2 y+e^{3 y}\right) y^{\prime}, y(0)=0 .

Passo 1

O enunciado nos dá o PVI
x \cos x = \bigl(2y + e^{3y}\bigr)\,y',\quad y(0)=0.
É uma equação diferencial de primeira ordem separável. Vamos separar as variáveis y de x, integrar ambos os lados e impor a condição inicial.

Passo 2

Reescrevendo com y' = \tfrac{dy}{dx}, temos
\frac{dy}{dx} = \frac{x \cos x}{2y + e^{3y}}
e então separamos as variáveis:
(2y + e^{3y})\,dy = x \cos x\,dx.

Passo 3

Integramos o lado em y:
\int (2y + e^{3y})\,dy = \int 2y\,dy + \int e^{3y}\,dy = y^2 + \frac{1}{3}e^{3y}.

Passo 4

Integramos o lado em x por partes. Seja u=x e dv=\cos x\,dx. Então du=dx e v=\sin x. Logo
\int x\cos x\,dx = x\sin x - \int \sin x\,dx = x\sin x + \cos x.

Passo 5

Igualando as duas integrais e incluindo constante C, obtemos a solução geral implícita:
y^2 + \frac{1}{3}e^{3y} = x\sin x + \cos x + C.

Passo 6

Aplicamos a condição inicial y(0)=0. No lado esquerdo:
0^2 + \tfrac{1}{3}e^{0} = \tfrac{1}{3},
e no direito:
0\cdot\sin0 + \cos0 + C = 1 + C.
Igualando,
\tfrac{1}{3} = 1 + C \quad\Longrightarrow\quad C = -\tfrac{2}{3}.

Passo 7

Substituindo C de volta, a solução implícita que satisfaz y(0)=0 é
y^2 + \frac{1}{3}e^{3y} = x\sin x + \cos x - \frac{2}{3}.

Resposta

A solução do PVI é dada implicitamente por
y^2 + \frac{1}{3}e^{3y} = x\sin x + \cos x - \frac{2}{3}.

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