(2 pontos) Resolva a equação
[y \cos (y / x)+x \sin (y / x)] d x=x \cos (y / x) d y .

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
[y \cos(y/x) + x \sin(y/x)]\,dx \;=\; x \cos(y/x)\,dy
Este tipo de equação é homogênea em x e y, pois depende apenas da razão y/x. Vamos usar a substituição
v = \frac{y}{x},
ou seja, y = vx.

Passo 2

Como y = v x, temos
dy = v\,dx + x\,dv.
Substituindo y = vx e dy na equação original, o lado esquerdo fica
[y \cos(v) + x \sin(v)]\,dx = [v x \cos(v) + x \sin(v)]\,dx = x\bigl(v\cos v + \sin v\bigr)\,dx
e o lado direito fica
x \cos(v)\,dy = x\cos(v)\bigl(v\,dx + x\,dv\bigr) = x v\cos v\,dx + x^2\cos v\,dv.

Passo 3

Igualando os dois lados e cancelando um fator x\neq0, obtemos
v\cos v + \sin v \;=\; v\cos v + x\cos v\,\frac{dv}{dx}.
Subtraindo v\cos v de ambos os lados surge
\sin v \;=\; x\cos v\,\frac{dv}{dx} \quad\Longrightarrow\quad \frac{dx}{x} \;=\; \frac{\cos v}{\sin v}\,dv \;=\; \cot(v)\,dv.

Passo 4

Agora integramos dos dois lados:
\int \frac{dx}{x} = \int \cot(v)\,dv.
O lado esquerdo dá
\int \frac{dx}{x} = \ln\bigl|x\bigr| + C_1
e o lado direito
\int \cot(v)\,dv = \ln\bigl|\sin v\bigr| + C_2.
Reunindo as constantes C=C_2-C_1, fica
\ln|x| = \ln\bigl|\sin v\bigr| + C \;\Longrightarrow\; \ln\frac{|x|}{|\sin v|} = C.

Passo 5

Exponenciando, obtemos
\frac{x}{\sin v} = K,
onde K=e^C é constante arbitrária. Voltando a v=y/x, temos
\frac{x}{\sin(y/x)} = K \quad\Longleftrightarrow\quad x = K\,\sin\bigl(\tfrac{y}{x}\bigr).

Resposta

A solução geral da equação diferencial é dada implicitamente por
\boxed{x = C \,\sin\!\bigl(\tfrac{y}{x}\bigr)},
onde C é constante de integração.

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