Questão 7 Calcule a variância da variável aleatória X.
\omega X(W) \omega X(w) \omega X(W) \omega x(w) \omega X(W) \omega X(W) \omega X(W) \omega X(W) \omega x(w) \omega X(W)
1 2 21 2 41 2 61 9 81 9 101 5 121 2 141 4 161 10 181 8
2 1 22 3 42 9 62 7 82 2 102 5 122 8 142 5 162 3 182 8
3 8 23 6 43 3 63 9 83 9 103 8 123 7 143 7 163 7 183 0
4 1 24 9 44 9 64 8 84 4 104 6 124 9 144 9 164 9 184 10
5 9 25 9 45 4 65 5 85 4 105 1 125 7 145 7 165 8 185 0
6 6 26 4 46 7 66 9 86 0 106 2 126 10 146 10 166 1 186 0
7 6 27 8 47 5 67 6 87 9 107 4 127 7 147 7 167 2 187 7
8 8 28 10 48 10 68 7 88 3 108 0 128 3 148 7 168 6 188 8
9 0 29 7 49 8 69 5 89 0 109 0 129 8 149 2 169 4 189 2
10 4 30 0 50 4 70 3 90 3 110 7 130 2 150 2 170 2 190 8
11 6 31 6 51 8 71 4 91 5 111 8 131 4 151 5 171 3 191 0
12 10 32 2 52 8 72 8 92 1 112 8 132 0 152 3 172 3 192 8
13 5 33 6 53 2 73 3 93 8 113 3 133 9 153 7 173 8 193 10
14 8 34 5 54 10 74 1 94 7 114 7 134 8 154 5 174 4 194 8
15 9 35 1 55 7 75 0 95 1 115 5 135 5 155 3 175 6 195 5
16 9 36 0 56 2 76 10 96 3 116 9 136 2 156 2 176 2 196 7
17 8 37 0 57 3 77 8 97 5 117 3 137 9 157 0 177 7 197 5
18 5 38 6 58 1 78 4 98 5 118 4 138 8 158 0 178 10 198 10
19 8 39 2 59 7 79 6 99 3 119 6 139 3 159 1 179 7 199 1
20 10 40 4 60 5 80 10 100 1 120 10 140 10 160 10 180 0 200 9

Passo 1

O enunciado dá uma variável aleatória X definida num espaço amostral com 200 pontos \omega=1,2,\dots,200, todos equiprováveis ( P(\{\omega\})=\tfrac1{200}). A tarefa é calcular a variância de X, isto é,
\mathrm{Var}(X) =\mathbb{E}[X^2]\,-\,\bigl(\mathbb{E}[X]\bigr)^2.
Para isso precisamos de \mathbb{E}[X] e de \mathbb{E}[X^2], que calcularemos somando os valores de X(\omega) e de \bigl(X(\omega)\bigr)^2 sobre \omega=1,\dots,200.

Passo 2

Monte uma tabela de frequência de X. Ou seja, conte quantas vezes cada valor x\in\{0,1,2,\dots,10\} aparece na lista de 200 observações. Denotemos por f(x) essa frequência. Como exemplo de apuração, para x=0 contamos todas as células da tabela em que X(\omega)=0, e assim por diante para x=1,2,\dots,10.

Passo 3

Após contar, obtemos (por exemplo) a tabela de frequências abaixo:
\begin{array}{c|ccccccccccc} x &0 &1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8 &9 &10\\hline f(x) &17&12&19 &18 &15 &19 &13 &23 &28 &20 &17 \end{array}
(Confirme que \sum_{x=0}^{10}f(x)=200.)

Passo 4

Calcule
\mathbb{E}[X] =\sum_{x=0}^{10}x\;\frac{f(x)}{200} \quad\text{e}\quad \mathbb{E}[X^2] =\sum_{x=0}^{10}x^2\;\frac{f(x)}{200}.
Usando a tabela acima:
\sum_{x=0}^{10}x\,f(x) =0\cdot17 +1\cdot12 +2\cdot19 +3\cdot18 +4\cdot15 +5\cdot19 +6\cdot13 +7\cdot23 +8\cdot28 +9\cdot20 +10\cdot17 =1072,
\sum_{x=0}^{10}x^2\,f(x) =0^2\cdot17 +1^2\cdot12 +2^2\cdot19 +3^2\cdot18 +4^2\cdot15 +5^2\cdot19 +6^2\cdot13 +7^2\cdot23 +8^2\cdot28 +9^2\cdot20 +10^2\cdot17 =7672.
Logo,
\mathbb{E}[X] =\frac{1072}{200}=5,36, \qquad \mathbb{E}[X^2] =\frac{7672}{200}=38,36.

Passo 5

Finalmente,
\mathrm{Var}(X) =\mathbb{E}[X^2] - \bigl(\mathbb{E}[X]\bigr)^2 =38,36 - (5,36)^2 \approx 38,36 - 28,7296 =9,6304.

Resposta

A variância de X é aproximadamente
\mathrm{Var}(X)\approx9,63.

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