Considere três capacitores com capacitâncias C_{1}, C_{2} e C_{3} conectados em série. Escreva uma expressão direta para a capacitância equivalente para essa associação.

Passo 1

O enunciado pede a capacitância equivalente de três capacitores C_{1}, C_{2} e C_{3} ligados em série. O conteúdo aqui é associação em série, e vamos usar que a carga em cada capacitor é a mesma e que a tensão total é a soma das tensões individuais.

Passo 2

Quando capacitores estão em série, a carga Q é igual em todos eles, e a tensão total V é
V = V_{1} + V_{2} + V_{3}
como V_{i} = \frac{Q}{C_{i}}, segue
V = \frac{Q}{C_{1}} + \frac{Q}{C_{2}} + \frac{Q}{C_{3}} = Q\Bigl(\frac{1}{C_{1}} + \frac{1}{C_{2}} + \frac{1}{C_{3}}\Bigr).
Mas também V = \frac{Q}{C_{\text{eq}}}. Igualando as duas formas de V, temos
\frac{Q}{C_{\text{eq}}} = Q\Bigl(\frac{1}{C_{1}} + \frac{1}{C_{2}} + \frac{1}{C_{3}}\Bigr).

Passo 3

Cancelando Q em ambos os lados, obtemos a expressão direta para a recipróca da capacitância equivalente:
\frac{1}{C_{\text{eq}}} = \frac{1}{C_{1}} + \frac{1}{C_{2}} + \frac{1}{C_{3}}.
Se quiser escrever C_{\text{eq}} de forma fechada, use o denominador comum:
C_{\text{eq}} = \frac{1}{\frac{1}{C_{1}} + \frac{1}{C_{2}} + \frac{1}{C_{3}}} = \frac{C_{1}C_{2}C_{3}}{C_{2}C_{3} + C_{1}C_{3} + C_{1}C_{2}}.

Resposta

\frac{1}{C_{\text{eq}}} = \frac{1}{C_{1}} + \frac{1}{C_{2}} + \frac{1}{C_{3}} \quad\Longrightarrow\quad C_{\text{eq}} = \frac{C_{1}C_{2}C_{3}}{C_{1}C_{2} + C_{2}C_{3} + C_{1}C_{3}}.

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