Calcule
\int \frac{1}{(x+3)^{2}+4} d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int \frac{1}{(x+3)^{2}+4}\,dx.
Informações fornecidas:
  • A variável de integração é x.
  • O integrando é uma função racional do tipo \dfrac{1}{(\text{expressão})^{2}+(\text{constante})^{2}}ã.
  • Não foi dada nenhuma condição inicial — queremos a primitiva geral (com constante de integração).

Passo 2

Primeira transformação para simplificar a expressão: fazer uma mudança de variável que elimine o deslocamento +3. Definimos
u = x+3.
Diferenciando ambos os lados obtemos
du = dx.
Substituindo na integral conseguimos uma forma mais simples:
\int \frac{1}{(x+3)^{2}+4}\,dx = \int \frac{1}{u^{2}+4}\,du.

Passo 3

Agora observe a forma padrão da integral
\int \frac{1}{u^{2}+a^{2}}\,du,
onde a>0 é uma constante. Há uma fórmula conhecida (que vamos justificar): para a>0,
\int \frac{1}{u^{2}+a^{2}}\,du = \frac{1}{a}\arctan\!\left(\frac{u}{a}\right)+C.
Justificação rápida da fórmula: a derivada da função \arctan(t) em relação a t é
\frac{d}{dt}\arctan(t)=\frac{1}{1+t^{2}}.
Se tomarmos t=\dfrac{u}{a}, pela regra da cadeia,
\frac{d}{du}\arctan\!\left(\frac{u}{a}\right)=\frac{1}{1+(u/a)^{2}}\cdot\frac{1}{a} = \frac{1}{a}\cdot\frac{1}{\dfrac{a^{2}+u^{2}}{a^{2}}} = \frac{a}{a^{2}+u^{2}}.
Portanto, para obter \dfrac{1}{u^{2}+a^{2}} precisamos multiplicar por \dfrac{1}{a}, o que dá a fórmula acima.

Passo 4

No nosso caso particular temos a^{2}=4, logo a=2. Aplicando a fórmula com a=2 obtemos
\int \frac{1}{u^{2}+4}\,du = \frac{1}{2}\arctan\!\left(\frac{u}{2}\right)+C.

Passo 5

Voltar à variável original x usando u=x+3. Assim a primitiva da integral original é
\frac{1}{2}\arctan\!\left(\frac{x+3}{2}\right)+C.
Uma verificação rápida (opcional): derivando \dfrac{1}{2}\arctan\!\big(\dfrac{x+3}{2}\big) pela regra da cadeia obtém-se exatamente \dfrac{1}{(x+3)^{2}+4}, confirmando que a primitiva está correta.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{2}\arctan\!\left(\frac{x+3}{2}\right)+C

Exercícios relacionados