Calcule
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral indefinida
Informações fornecidas:
- A variável de integração é
. - O integrando é uma função racional do tipo
. - Não foi dada nenhuma condição inicial — queremos a primitiva geral (com constante de integração).
Passo 2
Primeira transformação para simplificar a expressão: fazer uma mudança de variável que elimine o deslocamento
. Definimos
Diferenciando ambos os lados obtemos
Substituindo na integral conseguimos uma forma mais simples:
Passo 3
Agora observe a forma padrão da integral
onde
é uma constante. Há uma fórmula conhecida (que vamos justificar): para
,
Justificação rápida da fórmula: a derivada da função
em relação a
é
Se tomarmos
, pela regra da cadeia,
Portanto, para obter
precisamos multiplicar por
, o que dá a fórmula acima.
Passo 4
No nosso caso particular temos
, logo
. Aplicando a fórmula com
obtemos
Passo 5
Voltar à variável original
usando
. Assim a primitiva da integral original é
Uma verificação rápida (opcional): derivando
pela regra da cadeia obtém-se exatamente
, confirmando que a primitiva está correta.