Calcule
Passo 1
O enunciado pede que se calcule a integral
Informações relevantes dadas:
- A função a integrar é a soma de duas parcelas:
e . - Queremos um antiderivado (primitiva) dessa função, ou seja uma função
tal que .
Passo 2
Usamos a propriedade linear da integral: a integral da soma é a soma das integrais. Assim podemos dividir o problema em duas integrais mais simples:
Vou resolver cada uma separadamente.
Passo 3
Integral da primeira parcela
.
Regra que usamos: para todo
,
onde
é constante de integração. Aqui
é
, então
. Aplicando a fórmula:
Anotação:
é uma constante de integração que será combinada com as constantes das outras partes no final.
Passo 4
Integral da segunda parcela
.
Estratégia: reconhecer que a derivada de
é
. Como temos
em vez de
, usamos substituição para tratar o fator interno
.
Faça a substituição
Então
Substituindo na integral:
Agora usamos que
logo
Voltando para
(substituindo
):
Passo 5
Juntando as duas primitivas (e somando as constantes em uma única constante
):
onde
é uma constante real arbitrária.
Passo 6
Verificação rápida por diferenciação (para ter certeza): derivando a resposta obtida,
que é exatamente o integrando. Portanto a primitiva está correta.