Calcule
\int\left(x+\operatorname{sec} ^{2}(5 x)\right) d x

Passo 1

O enunciado pede que se calcule a integral
\int\left(x+\operatorname{sec}^{2}(5x)\right)\,dx.
Informações relevantes dadas:
  • A função a integrar é a soma de duas parcelas: x e \operatorname{sec}^{2}(5x).
  • Queremos um antiderivado (primitiva) dessa função, ou seja uma função F(x) tal que F'(x)=x+\operatorname{sec}^{2}(5x).

Passo 2

Usamos a propriedade linear da integral: a integral da soma é a soma das integrais. Assim podemos dividir o problema em duas integrais mais simples:
\int\left(x+\operatorname{sec}^{2}(5x)\right)\,dx = \int x\,dx + \int \operatorname{sec}^{2}(5x)\,dx.
Vou resolver cada uma separadamente.

Passo 3

Integral da primeira parcela x.
Regra que usamos: para todo n\neq -1,
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C,
onde C é constante de integração. Aqui x é x^{1}, então n=1. Aplicando a fórmula:
\int x\,dx = \int x^{1}\,dx = \frac{x^{2}}{2} + C_{1}.
Anotação: C_{1} é uma constante de integração que será combinada com as constantes das outras partes no final.

Passo 4

Integral da segunda parcela \operatorname{sec}^{2}(5x).
Estratégia: reconhecer que a derivada de \tan(u) é \operatorname{sec}^{2}(u). Como temos \operatorname{sec}^{2}(5x) em vez de \operatorname{sec}^{2}(x), usamos substituição para tratar o fator interno 5x.
Faça a substituição
u = 5x.
Então
du = 5\,dx \quad\Rightarrow\quad dx = \frac{1}{5}\,du.
Substituindo na integral:
\int \operatorname{sec}^{2}(5x)\,dx = \int \operatorname{sec}^{2}(u)\cdot\frac{1}{5}\,du = \frac{1}{5}\int \operatorname{sec}^{2}(u)\,du.
Agora usamos que
\frac{d}{du}\tan(u)=\operatorname{sec}^{2}(u),
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\int \operatorname{sec}^{2}(u)\,du = \tan(u) + C_{2}.
Voltando para x (substituindo u=5x):
\int \operatorname{sec}^{2}(5x)\,dx = \frac{1}{5}\tan(u) + C_{2} = \frac{1}{5}\tan(5x) + C_{2}.

Passo 5

Juntando as duas primitivas (e somando as constantes em uma única constante C):
\int\left(x+\operatorname{sec}^{2}(5x)\right)\,dx = \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{5}\tan(5x) + C,
onde C é uma constante real arbitrária.

Passo 6

Verificação rápida por diferenciação (para ter certeza): derivando a resposta obtida,
\frac{d}{dx}\left(\frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{5}\tan(5x) + C\right) = x + \frac{1}{5}\cdot 5\operatorname{sec}^{2}(5x) + 0 = x + \operatorname{sec}^{2}(5x),
que é exatamente o integrando. Portanto a primitiva está correta.

Resposta

\dfrac{x^{2}}{2}+\dfrac{1}{5}\tan(5x)+C

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