Calcule
\int \frac{\cos x}{3-\operatorname{sen} x} d x
\int \frac{\cos x}{3-\operatorname{sen} x} d x
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral
Informações dadas:
- A função integranda é
. - O objetivo é encontrar uma primitiva (a antiderivada) dessa função, isto é, uma expressão
tal que .
Passo 2
Vou tentar transformar a integral em uma forma mais simples por meio de substituição. Observação útil: a derivada de
é
. Então se eu fizer a substituição
então diferenciar ambos os lados dá
Isso é ótimo porque no numerador já temos exatamente
. Portanto a substituição elimina o numerador de forma direta.
Passo 3
Fazendo a substituição
e
, a integral original vira uma integral em
:
Agora precisamos calcular
. Para integrar, uso uma segunda mudança simples: seja
. Então
, logo
onde
é a constante de integração. Voltando a
, isso é
Passo 4
Retornando para a variável
via
, obtemos
Observação prática: como
, tem-se
, sempre positivo. Portanto o valor absoluto pode ser removido sem problema e podemos escrever a primitiva como
Passo 5
Verificação rápida por diferenciação (para ter certeza): calcule a derivada de
:
que é exatamente a integranda. Logo a primitiva está correta.