Calcule
\int \frac{\cos x}{3-\operatorname{sen} x} d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral
\int \frac{\cos x}{3-\operatorname{sen} x}\,dx.
Informações dadas:
  • A função integranda é \dfrac{\cos x}{3-\operatorname{sen} x}.
  • O objetivo é encontrar uma primitiva (a antiderivada) dessa função, isto é, uma expressão F(x) tal que F'(x)=\dfrac{\cos x}{3-\operatorname{sen} x}.

Passo 2

Vou tentar transformar a integral em uma forma mais simples por meio de substituição. Observação útil: a derivada de \operatorname{sen} x é \cos x. Então se eu fizer a substituição
u=\operatorname{sen} x,
então diferenciar ambos os lados dá
du=\cos x\,dx.
Isso é ótimo porque no numerador já temos exatamente \cos x\,dx. Portanto a substituição elimina o numerador de forma direta.

Passo 3

Fazendo a substituição u=\operatorname{sen} x e du=\cos x\,dx, a integral original vira uma integral em u:
\int \frac{\cos x}{3-\operatorname{sen} x}\,dx = \int \frac{du}{3-u}.
Agora precisamos calcular \displaystyle \int \frac{du}{3-u}. Para integrar, uso uma segunda mudança simples: seja v=3-u. Então dv=-du, logo
\int \frac{du}{3-u} = -\int \frac{dv}{v} = -\ln|v| + C,
onde C é a constante de integração. Voltando a u, isso é
-\ln|3-u| + C.

Passo 4

Retornando para a variável x via u=\operatorname{sen} x, obtemos
-\ln|3-\operatorname{sen} x| + C.
Observação prática: como \operatorname{sen} x\in[-1,1], tem-se 3-\operatorname{sen} x\in[2,4], sempre positivo. Portanto o valor absoluto pode ser removido sem problema e podemos escrever a primitiva como
-\ln(3-\operatorname{sen} x)+C.

Passo 5

Verificação rápida por diferenciação (para ter certeza): calcule a derivada de -\ln(3-\operatorname{sen} x):
\frac{d}{dx}\bigl[-\ln(3-\operatorname{sen} x)\bigr] = -\frac{1}{3-\operatorname{sen} x}\cdot\bigl(-\cos x\bigr) = \frac{\cos x}{3-\operatorname{sen} x},
que é exatamente a integranda. Logo a primitiva está correta.

Resposta

-\ln(3-\operatorname{sen} x)+C

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