Calcule
\int \cos (2 x) \cos (3 x) \mathrm{~d} x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a primitiva da função \cos(2x)\cos(3x). O conteúdo envolvido é integração de funções trigonométricas, e vamos precisar usar a identidade de produto para soma:
\cos A\cos B = \tfrac12\bigl(\cos(A+B)+\cos(A-B)\bigr).

Passo 2

Aplicamos a identidade com A=2x e B=3x:
\cos(2x)\cos(3x) = \tfrac12\bigl(\cos(5x)+\cos(-x)\bigr) = \tfrac12\bigl(\cos(5x)+\cos(x)\bigr).

Passo 3

Agora integramos termo a termo:
\int \cos(2x)\cos(3x)\,dx = \tfrac12\int\cos(5x)\,dx + \tfrac12\int\cos(x)\,dx = \tfrac12\bigl(\tfrac{1}{5}\sin(5x)+\sin(x)\bigr).

Resposta

\int \cos(2x)\cos(3x)\,dx = \frac{1}{10}\sin(5x) + \frac{1}{2}\sin(x) + C.

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