Encontre a série de Taylor-Mclaurin (série de Taylor centrada em x_{0}=0 ) para a função f(x)=e^{3 x}. Escreva a fórmula geral para o n-ésimo termo da série.

Passo 1

O enunciado pede a série de Taylor–McLaurin de f(x)=e^{3x}, ou seja, a expansão em torno de x_0=0. Vamos usar a fórmula de Maclaurin
f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}\,x^n.
Para isso precisamos (1) calcular f^{(n)}(x) e depois (2) avaliar em x=0.

Passo 2

Calculamos as derivadas de f e notamos um padrão.
A primeira derivada é
f'(x)=\frac{d}{dx}e^{3x}=3\,e^{3x},
a segunda
f''(x)=\frac{d}{dx}\bigl(3\,e^{3x}\bigr)=3^2\,e^{3x},
e assim por diante. Por indução chegamos a
f^{(n)}(x)=3^n\,e^{3x}.
Logo, em x=0
f^{(n)}(0)=3^n\,e^{0}=3^n.

Passo 3

Substituindo na fórmula de Maclaurin, obtemos
e^{3x} =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}\,x^n =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{3^n}{n!}\,x^n =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(3x)^n}{n!}.
O termo geral da série é
\frac{f^{(n)}(0)}{n!}\,x^n =\frac{3^n}{n!}\,x^n.

Resposta

e^{3x}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{3^n}{n!}\,x^n,
com termo geral
\frac{3^n}{n!}\,x^n.

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