Dado o elipsoide
, determinar:
(a) os comprimentos dos eixos
(b) as intersecções com os planos coordenados.
(c) as intersecções do mesmo com os planos
e
.
(a) os comprimentos dos eixos
(b) as intersecções com os planos coordenados.
(c) as intersecções do mesmo com os planos
Passo 1
O enunciado nos dá o elipsoide
e pede:
(a) os comprimentos dos eixos principais;
(b) as intersecções com os planos coordenados ,
e
;
(c) as intersecções com os planos ,
e
.
Para resolver, vamos reconhecer a forma canônica do elipsoide e depois substituir nas equações dos planos para obter as curvas de interseção.
(a) os comprimentos dos eixos principais;
(b) as intersecções com os planos coordenados
(c) as intersecções com os planos
Para resolver, vamos reconhecer a forma canônica do elipsoide e depois substituir nas equações dos planos para obter as curvas de interseção.
Passo 2
Colocamos a equação em forma canônica dividindo tudo por
:
Dessa forma, os semi-eixos são
Os comprimentos dos eixos principais são
,
e
, ou seja,
Passo 3
Para as intersecções com os planos coordenados, basta anular a coordenada perpendicular ao plano:
- Plano
:
que é uma elipse com interceptos em
e
.
- Plano
:
elipse com interceptos em
e
.
- Plano
:
elipse com interceptos em
e
.
Passo 4
Agora substituímos as coordenadas dos planos pedidos:
- Plano
:
É uma elipse em
dada por
.
- Plano
:
É uma elipse em
dada por
.
- Plano
:
É uma elipse em
com equação
.
Resposta
(a)
,
,
(b)
– Em :
, interceptos
,
.
– Em :
, interceptos
,
.
– Em :
, interceptos
,
.
(c)
– Em :
.
– Em :
.
– Em :
.
(b)
– Em
– Em
– Em
(c)
– Em
– Em
– Em