Dado o elipsoide 4 x^{2}+9 y^{2}+16 z^{2}=25, determinar:
(a) os comprimentos dos eixos
(b) as intersecções com os planos coordenados.
(c) as intersecções do mesmo com os planos z=1 / 2, x=1 e y=-1.

Passo 1

O enunciado nos dá o elipsoide
4x^2 + 9y^2 + 16z^2 = 25
e pede:
(a) os comprimentos dos eixos principais;
(b) as intersecções com os planos coordenados xy, xz e yz;
(c) as intersecções com os planos z=\tfrac12, x=1 e y=-1.
Para resolver, vamos reconhecer a forma canônica do elipsoide e depois substituir nas equações dos planos para obter as curvas de interseção.

Passo 2

Colocamos a equação em forma canônica dividindo tudo por 25:
\frac{x^2}{25/4} + \frac{y^2}{25/9} + \frac{z^2}{25/16} = 1.
Dessa forma, os semi-eixos são
a = \sqrt{\frac{25}{4}} = \frac{5}{2},\quad b = \sqrt{\frac{25}{9}} = \frac{5}{3},\quad c = \sqrt{\frac{25}{16}} = \frac{5}{4}.
Os comprimentos dos eixos principais são 2a, 2b e 2c, ou seja,
2a = 5,\quad 2b = \frac{10}{3},\quad 2c = \frac{5}{2}.

Passo 3

Para as intersecções com os planos coordenados, basta anular a coordenada perpendicular ao plano:
  1. Plano xy z=0:
4x^2 + 9y^2 = 25,
que é uma elipse com interceptos em \bigl(\pm\tfrac{5}{2},0,0\bigr) e \bigl(0,\pm\tfrac{5}{3},0\bigr).
  1. Plano xz y=0:
4x^2 + 16z^2 = 25,
elipse com interceptos em \bigl(\pm\tfrac{5}{2},0,0\bigr) e \bigl(0,0,\pm\tfrac{5}{4}\bigr).
  1. Plano yz x=0:
9y^2 + 16z^2 = 25,
elipse com interceptos em \bigl(0,\pm\tfrac{5}{3},0\bigr) e \bigl(0,0,\pm\tfrac{5}{4}\bigr).

Passo 4

Agora substituímos as coordenadas dos planos pedidos:
  1. Plano z=\frac12:
4x^2 + 9y^2 + 16\Bigl(\tfrac12\Bigr)^2 = 25 \quad\Longrightarrow\quad 4x^2 + 9y^2 = 25 - 16\cdot\tfrac14 = 21.
É uma elipse em z=\tfrac12 dada por 4x^2 + 9y^2 =21.
  1. Plano x=1:
4\cdot1^2 + 9y^2 + 16z^2 = 25 \quad\Longrightarrow\quad 9y^2 + 16z^2 = 21.
É uma elipse em x=1 dada por 9y^2 + 16z^2 =21.
  1. Plano y=-1:
4x^2 + 9\cdot(-1)^2 + 16z^2 = 25 \quad\Longrightarrow\quad 4x^2 + 16z^2 = 16 \quad\Longrightarrow\quad \frac{x^2}{4} + z^2 = 1.
É uma elipse em y=-1 com equação \tfrac{x^2}{4} + z^2 =1.

Resposta

(a) 2a=5, 2b=\tfrac{10}{3}, 2c=\tfrac{5}{2}.
(b)
– Em z=0: 4x^2+9y^2=25, interceptos \bigl(\pm\tfrac{5}{2},0,0\bigr), \bigl(0,\pm\tfrac{5}{3},0\bigr).
– Em y=0: 4x^2+16z^2=25, interceptos \bigl(\pm\tfrac{5}{2},0,0\bigr), \bigl(0,0,\pm\tfrac{5}{4}\bigr).
– Em x=0: 9y^2+16z^2=25, interceptos \bigl(0,\pm\tfrac{5}{3},0\bigr), \bigl(0,0,\pm\tfrac{5}{4}\bigr).
(c)
– Em z=\tfrac12: 4x^2+9y^2=21.
– Em x=1: 9y^2+16z^2=21.
– Em y=-1: \tfrac{x^2}{4}+z^2=1.

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