(2 pontos) Resolva o seguinte PVI:
\frac{d y}{d x}+\frac{y}{2 x}=\frac{x}{y^{3}}, y(1)=2 .
SUCESSO!

Passo 1

O enunciado pede resolver o PVI
\frac{dy}{dx} + \frac{y}{2x} = \frac{x}{y^{3}},\quad y(1)=2.
Este é um caso de equação de Bernoulli de expoente n=-3. Vamos usar a transformação padrão para torná-la linear.

Passo 2

Colocamos na forma
y' + P(x)\,y = Q(x)\,y^{n},
onde P(x)=\tfrac1{2x}, Q(x)=x e n=-3.

Passo 3

Para equações de Bernoulli definimos
u = y^{1-n} = y^{4}.
Diferenciando, vem
u' = 4\,y^{3}\,y'.
Multiplicamos a equação original por 4y^{3} para expressar tudo em termos de u.

Passo 4

Multiplicando por 4y^{3} obtemos
4y^{3}y' + \frac{4y^{4}}{2x} = 4x \quad\Longrightarrow\quad u' + \frac{2}{x}\,u = 4x.

Passo 5

Agora temos uma EDO linear em u:
u' + \frac{2}{x}\,u = 4x.
O fator integrante é
\mu(x) = \exp\!\Bigl(\int \frac{2}{x}\,dx\Bigr) = x^{2}.
Multiplicando por \mu e integrando:
(x^{2}u)' = 4x^{3}, \quad x^{2}u = x^{4} + C, \quad u = x^{2} + C\,x^{-2}.

Passo 6

Voltando a y, temos
y^{4} = x^{2} + C\,x^{-2}.
Como y(1)=2, segue 2^{4}=1+C, logo C=15. Então
y^{4} = x^{2} + 15\,x^{-2}.

Passo 7

Escolhendo o ramo positivo (já que y(1)=2>0), concluímos
y(x) = \bigl(x^{2} + 15\,x^{-2}\bigr)^{1/4}.

Resposta

y(x) = \bigl(x^{2} + 15\,x^{-2}\bigr)^{1/4}.

Exercícios relacionados