Calcule os limites
\lim _{x \rightarrow-1}\left(\frac{x^{3}+5 x+6}{x^{3}+x^{2}+2 x+2}\right)

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to -1}\frac{x^3+5x+6}{x^3+x^2+2x+2}.
O conteúdo é limite de função racional que gera indeterminação do tipo 0/0, exigindo fatoração e cancelamento do fator que anula numerador e denominador.

Passo 2

Verificamos a substituição direta em x=-1:
\text{numerador} = (-1)^3+5(-1)+6 = -1-5+6 = 0,
\text{denominador} = (-1)^3+(-1)^2+2(-1)+2 = -1+1-2+2 = 0.
Como dá 0/0, temos indeterminação e precisamos fatorar.

Passo 3

Fatoramos o numerador \,x^3+5x+6. Como x=-1 é raiz, dividimos por (x+1) e obtemos
x^3+5x+6 = (x+1)\,(x^2 - x + 6).

Passo 4

Fatoramos o denominador \,x^3+x^2+2x+2 por agrupamento:
x^3+x^2+2x+2 = x^2(x+1)+2(x+1) = (x+1)\,(x^2+2).

Passo 5

Cancelamos o fator comum (x+1) na região onde x\neq -1. A expressão passa a ser
\frac{x^2 - x + 6}{x^2 + 2}.

Passo 6

Agora o limite é contínuo em x=-1, então substituímos diretamente:
\frac{(-1)^2 - (-1) + 6}{(-1)^2 + 2} = \frac{1 + 1 + 6}{1 + 2} = \frac{8}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{8}{3}

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