Calcule
\int \cos x \operatorname{sen} 2 x d x

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida \displaystyle \int \cos x\,\sin(2x)\,dx. O conteúdo envolve integração de funções trigonométricas usando identidades e substituição simples.

Passo 2

Usamos a identidade \sin(2x)=2\sin x\cos x para reescrever o integrando:
\cos x\,\sin(2x)=\cos x\cdot 2\sin x\cos x = 2\sin x\,\cos^2 x.

Passo 3

Fazemos a substituição u=\cos x, de onde du=-\sin x\,dx ou \sin x\,dx=-du. Assim,
\int 2\sin x\,\cos^2 x\,dx = \int 2u^2(\sin x\,dx) = \int 2u^2(-du) = -2\int u^2\,du.

Passo 4

Calculamos a integral em u:
-2\int u^2\,du = -2\cdot \frac{u^3}{3} = -\frac{2}{3}u^3 + C.

Passo 5

Voltando a x com u=\cos x, obtemos
\int \cos x\,\sin(2x)\,dx = -\frac{2}{3}\cos^3 x + C.

Resposta

-\tfrac{2}{3}\cos^3 x + C

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