Exercício 6: (1,5 pontos) Calcule a área entre a curva g(x)=4 x-x^{2} \mathrm{e} as retas x=-2 \mathrm{e} x=2.

Passo 1

O enunciado pede a área da região limitada pela curva g(x)=4x - x^{2}, pelo eixo x e pelas retas verticais x=-2 e x=2. O conteúdo necessário é o cálculo de integrais definidas e o tratamento de sinal da função para obter área positiva.

Passo 2

Primeiro encontramos onde g(x)=0:
4x - x^{2} = 0
x(4 - x)=0
logo as raízes são x=0 e x=4. No intervalo [-2,2], temos g(x)<0 para x\in[-2,0) e g(x)>0 para x\in(0,2]. Para obter a área, devemos integrar o valor absoluto de g(x):
\text{Área} = \int_{-2}^{2} |\,4x - x^{2}\,|\,dx = \int_{-2}^{0} -(4x - x^{2})\,dx \;+\;\int_{0}^{2} (4x - x^{2})\,dx.Á

Passo 3

Calculemos a integral em [-2,0]:
\int_{-2}^{0} \bigl(x^{2} - 4x\bigr)\,dx = \left[\frac{x^{3}}{3} - 2x^{2}\right]_{-2}^{0} = \bigl(0\bigr) - \Bigl(\tfrac{-8}{3} - 2\cdot4\Bigr) = -\bigl(-\tfrac{8}{3} -8\bigr) = \frac{32}{3}.

Passo 4

Agora a integral em [0,2]:
\int_{0}^{2} (4x - x^{2})\,dx = \left[2x^{2} - \frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{2} = \Bigl(2\cdot4 - \tfrac{8}{3}\Bigr) - 0 = 8 - \frac{8}{3} = \frac{16}{3}.

Passo 5

Somamos as duas áreas parciais:
\text{Área total} = \frac{32}{3} + \frac{16}{3} = \frac{48}{3} =16.Á

Resposta

A área pedida é 16.

Exercícios relacionados