Calcule
\int \operatorname{sen}^{5} x \cos ^{2} x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int \operatorname{sen}^{5}x \,\cos^{2}x\,dx.
O conteúdo aqui é integração de potências de seno e cosseno. Como a potência de seno é ímpar, vamos usar a identidade \sin^{2}x=1-\cos^{2}x para expressar quase tudo em cosseno e em seguida fazer a substituição u=\cos x.

Passo 2

Reescrevemos
\sin^{5}x = (\sin^{2}x)^{2}\,\sin x = (1-\cos^{2}x)^{2}\,\sin x,
portanto a integral vira
\int \operatorname{sen}^{5}x \,\cos^{2}x\,dx = \int (1-\cos^{2}x)^{2}\,\sin x\,\cos^{2}x\,dx.

Passo 3

Fazemos a substituição
u = \cos x \quad\Longrightarrow\quad du = -\sin x\,dx \quad\Longrightarrow\quad \sin x\,dx = -du.
Assim a integral passa a ser
\int (1-u^{2})^{2}\,u^{2}\,\sin x\,dx = -\int (1-u^{2})^{2}\,u^{2}\,du.

Passo 4

Expandindo o polinômio:
(1-u^{2})^{2}\,u^{2} = (1 - 2u^{2} + u^{4})\,u^{2} = u^{2} - 2u^{4} + u^{6}.
Logo
-\int (u^{2} - 2u^{4} + u^{6})\,du = -\Bigl(\tfrac{u^{3}}{3} - \tfrac{2u^{5}}{5} + \tfrac{u^{7}}{7}\Bigr) + C.

Passo 5

Voltando a x com u=\cos x, obtemos
-\frac{\cos^{3}x}{3} + \frac{2\cos^{5}x}{5} - \frac{\cos^{7}x}{7} + C.

Resposta

-\tfrac{\cos^{3}x}{3} + \tfrac{2\cos^{5}x}{5} - \tfrac{\cos^{7}x}{7} + C

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