(2.5 pontos) Use o Teorema de Stokes para calcular
onde
e
é a parte da esfera
que está dentro do cilindro
e acima do plano
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular
onde
e
é a parte da esfera
contida no cilindro
e acima do plano
.
O conteúdo principal é o Teorema de Stokes, que transforma a integral de superfície de numa integral de linha de
ao redor da fronteira
.
O conteúdo principal é o Teorema de Stokes, que transforma a integral de superfície de
Passo 2
Pelo Teorema de Stokes vale
Precisamos então encontrar a curva
, isto é, a interseção da esfera com o cilindro, acima do plano
.
Passo 3
A curva
é o círculo
orientado segundo a regra da mão direita, isto é, visto de cima (eixo
positivo) no sentido anti-horário. Uma parametrização conveniente é
logo
Passo 4
Em
temos
Então o produto escalar é
Assim