(2.5 pontos) Use o Teorema de Stokes para calcular \iint_{S} \operatorname{rot} \vec{F} \cdot \vec{n} d S onde \vec{F}(x, y, z)=x z \vec{i}+ y z \vec{j}+x y \vec{k} e S é a parte da esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=9 que está dentro do cilindro x^{2}+y^{2}=1 e acima do plano x y.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\iint_{S}\bigl(\nabla\times \vec F\bigr)\cdot \vec n\,dS
onde \vec F(x,y,z)=x z\,\vec i+y z\,\vec j+x y\,\vec k e S é a parte da esfera
x^{2}+y^{2}+z^{2}=9
contida no cilindro
x^{2}+y^{2}=1
e acima do plano z=0.
O conteúdo principal é o Teorema de Stokes, que transforma a integral de superfície de \nabla\times\vec F numa integral de linha de \vec F ao redor da fronteira \partial S.

Passo 2

Pelo Teorema de Stokes vale
\iint_{S}\bigl(\nabla\times \vec F\bigr)\cdot \vec n\,dS =\oint_{\partial S}\vec F\cdot d\vec r.
Precisamos então encontrar a curva \partial S, isto é, a interseção da esfera com o cilindro, acima do plano z=0.

Passo 3

A curva \partial S é o círculo
x^{2}+y^{2}=1, \quad z=\sqrt{9-1}=\sqrt{8}=2\sqrt{2},
orientado segundo a regra da mão direita, isto é, visto de cima (eixo z positivo) no sentido anti-horário. Uma parametrização conveniente é
\vec r(t)=\bigl(\cos t,\;\sin t,\;2\sqrt{2}\bigr), \quad 0\le t\le 2\pi,
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d\vec r=\bigl(-\sin t,\;\cos t,\;0\bigr)\,dt.

Passo 4

Em \vec r(t) temos
\vec F\bigl(\vec r(t)\bigr) =\bigl(xz,\;yz,\;xy\bigr) =\bigl(2\sqrt{2}\cos t,\;2\sqrt{2}\sin t,\;\cos t\sin t\bigr).
Então o produto escalar é
\vec F(\vec r(t))\cdot \vec r\,'(t) =(2\sqrt{2}\cos t)(-\,\sin t)+(2\sqrt{2}\sin t)(\cos t) +(\cos t\sin t)\cdot 0 =0.
Assim
\oint_{\partial S}\vec F\cdot d\vec r =\int_{0}^{2\pi}0\,dt =0.

Resposta

0.

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