(2,0) Utilizando o método de integração por partes, calcule:
\int e^{x} \cos x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular \displaystyle \int e^{x}\cos x\,dx usando o método de integração por partes, cuja fórmula é
\int u\,dv = uv - \int v\,du.
A ideia é aplicar partes duas vezes até aparecer de novo o integral original e então resolver uma equação para ele.

Passo 2

Definimos
I = \int e^{x}\cos x\,dx.
Escolhemos u = e^{x} e dv = \cos x\,dx. Assim
du = e^{x}\,dx,\quad v = \sin x.
Pela fórmula de partes,
I = e^{x}\sin x - \int e^{x}\sin x\,dx.
Chamamos
J = \int e^{x}\sin x\,dx,
ficando
I = e^{x}\sin x - J.

Passo 3

Agora aplicamos partes em J. Tomamos u = e^{x}, dv = \sin x\,dx, logo
du = e^{x}\,dx,\quad v = -\cos x.
Então
J = e^{x}(-\cos x) - \int(-\cos x)\,e^{x}\,dx = -e^{x}\cos x + \int e^{x}\cos x\,dx = -e^{x}\cos x + I.

Passo 4

Voltemos a I = e^{x}\sin x - J e substituamos J = -e^{x}\cos x + I:
I = e^{x}\sin x - \bigl(-e^{x}\cos x + I\bigr) = e^{x}\sin x + e^{x}\cos x - I.
Somando I dos dois lados,
2I = e^{x}\bigl(\sin x + \cos x\bigr) \quad\Longrightarrow\quad I = \frac{e^{x}}{2}\bigl(\sin x + \cos x\bigr) + C,
onde C é a constante de integração.

Resposta

\int e^{x}\cos x\,dx = \frac{e^{x}}{2}\bigl(\sin x + \cos x\bigr) + C.

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