Calcule.
\int \cos ^{5} x \operatorname{sen}^{3} x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \cos^{5}x\,\operatorname{sen}^{3}x\;dx.
O conteúdo envolvido é integração de potências de funções trigonométricas, usando a estratégia de separar uma potência ímpar de \operatorname{sen} x para fazer substituição. Vamos precisar da identidade \operatorname{sen}^{2}x=1-\cos^{2}x e da substituição u=\cos x.

Passo 2

Escrevemos \operatorname{sen}^{3}x=\operatorname{sen}^{2}x\cdot\operatorname{sen} x e usamos a identidade trigonométrica:
\operatorname{sen}^{3}x = (1-\cos^{2}x)\,\operatorname{sen} x.
Então a integral vira
\int \cos^{5}x\,\operatorname{sen}^{3}x\;dx = \int \cos^{5}x\,(1-\cos^{2}x)\,\operatorname{sen} x\;dx.

Passo 3

Fazemos a substituição
u = \cos x, \quad du = -\operatorname{sen} x\;dx \quad\Longrightarrow\quad \operatorname{sen} x\;dx = -du.
Assim
\int \cos^{5}x\,(1-\cos^{2}x)\,\operatorname{sen} x\;dx = -\int u^{5}(1-u^{2})\;du.

Passo 4

Expandimos o integrando e integramos termo a termo:
-\int \bigl(u^{5}-u^{7}\bigr)\;du = -\Bigl(\frac{u^{6}}{6}-\frac{u^{8}}{8}\Bigr)+C = -\frac{u^{6}}{6}+\frac{u^{8}}{8}+C.

Passo 5

Voltando a variável original x com u=\cos x, obtemos
\int \cos^{5}x\,\operatorname{sen}^{3}x\;dx = \frac{\cos^{8}x}{8} - \frac{\cos^{6}x}{6} + C.

Resposta

\frac{\cos^{8}x}{8} - \frac{\cos^{6}x}{6} + C.

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