Calcule.
\int \frac{x+1}{x\left(x^{2}+2\right)} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral\r
\int \frac{x+1}{x\bigl(x^{2}+2\bigr)}\,dx.\r
O conteúdo principal aqui é decomposição em frações parciais, seguido de integrais elementares de 1/x, x/(x^2+2) e 1/(x^2+2).

Passo 2

Assumimos uma decomposição da forma\r
\frac{x+1}{x(x^2+2)} = \frac{A}{x} + \frac{Bx + C}{x^2+2}.\r
Vamos determinar A, B e C igualando numeradores.

Passo 3

Multiplicando ambos os lados por x(x^2+2)\) obtemos\r \[x+1 = A(x^2+2) + (Bx + C)\,x = (A+B)\,x^2 + C\,x + 2A.\r
Comparando coeficientes com x+1 = 0\cdot x^2 + 1\cdot x +1 dá o sistema\r
\begin{cases}\r A + B = 0,\\\ C = 1,\\\\ 2A = 1. \end{cases}\r
Daí segue A = \tfrac12\], \(B = -\tfrac12, C = 1.

Passo 4

Substituindo na decomposição,\r
\frac{x+1}{x(x^2+2)}\r = \frac{1/2}{x} + \frac{-\tfrac12\,x + 1}{x^2+2}\r = \frac{1}{2x} - \frac12\,\frac{x}{x^2+2} + \frac{1}{x^2+2}.\r
Assim a integral se separa em três:\r
\int \frac{1}{2x}\,dx - \frac12\int \frac{x}{x^2+2}\,dx + \int \frac{1}{x^2+2}\,dx.

Passo 5

Calculamos cada parte:\r
\r
  1. \displaystyle \int \frac{1}{2x}\,dx = \tfrac12 \ln\lvert x\rvert. \r
  2. Para \int \frac{x}{x^2+2}\,dx usamos u = x^2+2, du = 2x\,dx, logo \r \int \frac{x}{x^2+2}\,dx = \tfrac12 \ln\bigl(x^2+2\bigr). \rMultiplicando por -\tfrac12 -\tfrac14 \ln(x^2+2). \r
  3. \displaystyle \int \frac{1}{x^2+2}\,dx é uma forma padrão, já que \r x^2+2 = 2\Bigl(\bigl(\tfrac{x}{\sqrt2}\bigr)^2+1\Bigr), \rresultando em \r \int \frac{1}{x^2+2}\,dx = \frac{1}{\sqrt2}\arctan\!\bigl(\tfrac{x}{\sqrt2}\bigr).\r
\r
Somando tudo e incluindo a constante C, obtemos a primitiva.

Resposta

\boxed{\frac12\ln\lvert x\rvert - \frac14\ln\bigl(x^2+2\bigr) + \frac{1}{\sqrt2}\arctan\!\bigl(\tfrac{x}{\sqrt2}\bigr) + C}.

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