Calcule.
\int \sqrt{4 x^{2}-9} d x

Passo 1

O enunciado pede a primitiva
\int \sqrt{4x^{2}-9}\,dx
Este é um caso clássico de integral de \sqrt{a^{2}x^{2}-b^{2}}. Vamos usar substituição trigonométrica para transformá-la em função de t.

Passo 2

Fazemos a substituição
x = \frac{3}{2}\operatorname{sec} t
Logo
dx = \frac{3}{2}\operatorname{sec} t\tan t\,dt
e
\sqrt{4x^{2}-9} = \sqrt{4\Bigl(\frac{9}{4}\operatorname{sec}^{2}t\Bigr)-9} = \sqrt{9\tan^{2}t} = 3\tan t.

Passo 3

Substituindo na integral original:
\int \sqrt{4x^{2}-9}\,dx = \int \bigl(3\tan t\bigr)\cdot\bigl(\tfrac{3}{2}\operatorname{sec} t\tan t\,dt\bigr) = \frac{9}{2}\int \operatorname{sec} t\,\tan^{2}t\,dt.

Passo 4

Usamos \tan^{2}t = \operatorname{sec}^{2}t - 1 para separar:
\frac{9}{2}\int \operatorname{sec} t\,\tan^{2}t\,dt = \frac{9}{2}\int\bigl(\operatorname{sec}^{3}t - \operatorname{sec} t\bigr)\,dt = \frac{9}{2}\Bigl(\int \operatorname{sec}^{3}t\,dt - \int \operatorname{sec} t\,dt\Bigr).
Sabemos que
\int \operatorname{sec}^{3}t\,dt = \frac{1}{2}\Bigl(\operatorname{sec} t\tan t + \ln\bigl|\operatorname{sec} t + \tan t\bigr|\Bigr), \quad \int \operatorname{sec} t\,dt = \ln\bigl|\operatorname{sec} t + \tan t\bigr|.

Passo 5

Substituindo essas primitivas:
\frac{9}{2}\Bigl[ \frac{1}{2}\bigl(\operatorname{sec} t\tan t + \ln|\operatorname{sec} t+\tan t|\bigr) - \ln|\operatorname{sec} t+\tan t| \Bigr] = \frac{9}{4}\operatorname{sec} t\,\tan t - \frac{9}{4}\ln\bigl|\operatorname{sec} t+\tan t\bigr| + C.

Passo 6

Voltamos a x:
\operatorname{sec} t = \frac{2x}{3}, \qquad \tan t = \frac{\sqrt{4x^{2}-9}}{3}.
Então
\operatorname{sec} t\,\tan t = \frac{2x}{3}\cdot\frac{\sqrt{4x^{2}-9}}{3} = \frac{2x\sqrt{4x^{2}-9}}{9},
e
\ln\bigl|\operatorname{sec} t+\tan t\bigr| = \ln\Bigl|\frac{2x+\sqrt{4x^{2}-9}}{3}\Bigr| = \ln\bigl|2x+\sqrt{4x^{2}-9}\bigr| - \ln 3.
O termo -\tfrac{9}{4}\ln 3 vai para a constante de integração. Logo a primitiva fica
\frac{9}{4}\cdot\frac{2x\sqrt{4x^{2}-9}}{9} - \frac{9}{4}\ln\bigl|2x+\sqrt{4x^{2}-9}\bigr| + C = \frac{x}{2}\sqrt{4x^{2}-9} - \frac{9}{4}\ln\bigl|2x+\sqrt{4x^{2}-9}\bigr| + C.

Resposta

\int \sqrt{4x^{2}-9}\,dx = \frac{x}{2}\sqrt{4x^{2}-9} - \frac{9}{4}\ln\bigl|2x+\sqrt{4x^{2}-9}\bigr| + C.

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