Calcule.
\int\left(e^{5 x}+2^{3 x}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede a integral
\int\bigl(e^{5x}+2^{3x}\bigr)\,dx.
O conteúdo é integração de exponenciais e vamos usar a regra
\displaystyle \int e^{ax}\,dx = \frac{1}{a}e^{ax}
e a mudança de base 2^{3x}=e^{3x\ln2}.

Passo 2

Para a primeira parte, tomamos a=5 em \int e^{ax}\,dx. Logo,
\int e^{5x}\,dx = \frac{1}{5}\,e^{5x}.

Passo 3

Para a segunda parte, reescrevemos
2^{3x} = e^{3x\ln2}
e aplicamos \displaystyle \int e^{ax}\,dx = \frac{1}{a}e^{ax} com a=3\ln2. Assim,
\int 2^{3x}\,dx = \int e^{3x\ln2}\,dx = \frac{1}{3\ln2}\,e^{3x\ln2} = \frac{1}{3\ln2}\,2^{3x}.

Passo 4

Somando as duas partes e incluindo a constante de integração C, obtemos
\int\bigl(e^{5x}+2^{3x}\bigr)\,dx = \frac{1}{5}e^{5x} + \frac{1}{3\ln2}\,2^{3x} + C.

Resposta

\frac{1}{5}e^{5x} + \frac{1}{3\ln2}\,2^{3x} + C.

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