Calcule:
\int \cos x\left(1+\operatorname{sen}^{2} x\right) d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int \cos x \,\bigl(1+\sin^{2}x\bigr)\,dx.
O conteúdo principal aqui é usar integração por substituição, observando que a derivada de \sin x é \cos x.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = \sin x,
então
du = \cos x\,dx.
Com isso, a integral em x transforma-se em uma integral em u:
\int \cos x \,\bigl(1+\sin^{2}x\bigr)\,dx = \int \bigl(1+u^{2}\bigr)\,du.

Passo 3

Agora integramos termo a termo em u:
\int \bigl(1+u^{2}\bigr)\,du = \int 1\,du + \int u^{2}\,du = u + \frac{u^{3}}{3} + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 4

Voltando à variável original usando u=\sin x, obtemos
\sin x + \frac{\sin^{3}x}{3} + C.

Resposta

\sin x + \frac{\sin^{3}x}{3} + C

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