Calcule.
\int \frac{d x}{x^{2}-2 x}

Passo 1

O enunciado nos pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{dx}{x^{2}-2x}.
O conteúdo que vamos usar é fatoração de polinômio e método de frações parciais, pois o denominador é um polinômio de segundo grau fatorável.

Passo 2

Primeiro fatoramos o denominador:
x^{2}-2x = x(x-2).
Em seguida, escrevemos a decomposição em frações parciais:
\frac{1}{x(x-2)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x-2}.

Passo 3

Multiplicando ambos os lados por x(x-2), obtemos
1 = A(x-2) + Bx.
Para achar A e B:
— Em x=0: 1 = A(0-2)\implies A = -\tfrac12.
— Em x=2: 1 = B\cdot2\implies B = \tfrac12.

Passo 4

Substituindo na integral,
\int \frac{dx}{x^{2}-2x} = \int\Bigl(-\tfrac12\frac{1}{x} + \tfrac12\frac{1}{x-2}\Bigr)\,dx = -\tfrac12\int \frac{dx}{x} + \tfrac12\int \frac{dx}{x-2}.
Integrando,
-\tfrac12\ln\lvert x\rvert + \tfrac12\ln\lvert x-2\rvert + C.

Resposta

\frac12\ln\Bigl|\frac{x-2}{x}\Bigr| + C.

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