Calcule:
\int_{1}^{2} \frac{\sqrt{x^{2-1}}}{x} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int_{1}^{2} \frac{\sqrt{x^{2-1}}}{x}\,dx.
Isso envolve regras de expoentes e a fórmula da antiderivada de potências: para x^{m}, temos
\int x^{m}\,dx = \frac{x^{m+1}}{m+1} + C\quad(m\neq -1).

Passo 2

Primeiro simplificamos o integrando. Dentro da raiz está x^{2-1}=x^1, logo
\sqrt{x^{2-1}} = \sqrt{x^1} = x^{\tfrac12}
e portanto
\frac{\sqrt{x^{2-1}}}{x} = \frac{x^{\tfrac12}}{x} = x^{\tfrac12-1} = x^{-\tfrac12}.

Passo 3

Agora a integral vira
\int_{1}^{2} x^{-\tfrac12}\,dx.
Usando a fórmula da antiderivada com m=-\tfrac12, temos
\int x^{-\tfrac12}\,dx = \frac{x^{-\tfrac12+1}}{-\tfrac12+1} = \frac{x^{\tfrac12}}{\tfrac12} = 2\,x^{\tfrac12}.

Passo 4

Basta avaliar de 1 a 2:
\Bigl[2\,x^{\tfrac12}\Bigr]_{1}^{2} = 2\bigl(\sqrt{2}-\sqrt{1}\bigr) = 2\bigl(\sqrt{2}-1\bigr).

Resposta

2\bigl(\sqrt{2}-1\bigr)

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