Calcule
\int_{0}^{\pi / 4} \operatorname{sec} ^{4} \theta \operatorname{tg}^{4} \theta d \theta

Passo 1

O enunciado pede calcular
\int_{0}^{\pi/4} \operatorname{sec}^{4}\theta \,\tan^{4}\theta \,d\theta.
O conteúdo é integração de funções trigonométricas usando a substituição u=\tan\theta, pois então du=\operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta e vale a identidade \operatorname{sec}^{2}\theta=1+\tan^{2}\theta.

Passo 2

Fatoramos o integrando:
\operatorname{sec}^{4}\theta\,\tan^{4}\theta = \tan^{4}\theta\,\operatorname{sec}^{2}\theta\;\cdot\;\operatorname{sec}^{2}\theta.
Com u=\tan\theta e du=\operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta, a integral se transforma em
\int_{u(0)}^{u(\pi/4)} u^{4}\,\operatorname{sec}^{2}\theta\,du.

Passo 3

Como \operatorname{sec}^{2}\theta=1+u^{2} e os limites passam de \theta=0\mapsto u=0 e \theta=\pi/4\mapsto u=1, a integral vira
\int_{0}^{1} u^{4}(1+u^{2})\,du.

Passo 4

Expandindo e integrando termo a termo,
\int_{0}^{1}(u^{4}+u^{6})\,du = \left[\frac{u^{5}}{5}+\frac{u^{7}}{7}\right]_{0}^{1} = \frac{1}{5}+\frac{1}{7} = \frac{12}{35}.

Resposta

\displaystyle \frac{12}{35}

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