Calcule:
\int \frac{d x}{x\left(x^{4}+1\right)}

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int \frac{dx}{x\bigl(x^4+1\bigr)}.
O conteúdo principal aqui é decomposição em frações parciais, seguida de uma substituição simples.

Passo 2

Começamos decompondo
\frac{1}{x(x^4+1)} = \frac{A}{x} + \frac{Bx^3 + Cx^2 + Dx + E}{x^4+1}.
Multiplicando ambos os lados por x(x^4+1) para encontrar A,B,C,D,E.

Passo 3

Ao multiplicar, fica
1 = A(x^4+1) + (Bx^3 + Cx^2 + Dx + E)\,x = (A+B)x^4 + Cx^3 + Dx^2 + Ex + A.
Igualando coeficientes a 0x^4+0x^3+0x^2+0x+1, obtemos
A+B=0,\quad C=0,\quad D=0,\quad E=0,\quad A=1.
Logo A=1, B=-1 e C=D=E=0. Assim
\frac{1}{x(x^4+1)} = \frac{1}{x} - \frac{x^3}{x^4+1}.

Passo 4

A integral se separa em
\int \frac{dx}{x(x^4+1)} = \int \frac{dx}{x} \;-\;\int \frac{x^3\,dx}{x^4+1}.
A primeira parte é
\ln|x|.
Na segunda, use u = x^4+1, então du = 4x^3\,dx e
\int \frac{x^3\,dx}{x^4+1} = \frac{1}{4}\int \frac{du}{u} = \frac{1}{4}\ln\bigl(x^4+1\bigr).
Somando, obtemos a antiderivada completa.

Resposta

\int \frac{dx}{x(x^4+1)} = \ln|x| \;-\; \frac{1}{4}\ln\bigl(x^4+1\bigr) + C.

Exercícios relacionados